【初中数学竞赛】 专题03 方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版.docVIP

【初中数学竞赛】

专题03方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练

(全国竞赛专用)

一、单选题

1.(2021全国·九年级竞赛)把三个连续的正整数a,b,c按任意次序(次序不同视为不同组)填入□x2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次

项系数和常数项.使所得方程至少有一个整数根的a,b,c().

A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组

【答案】C

【答案】C

【详解】设三个连续的正整数分别为n-1,n,n+1(n为大于1的整数).当一次项系

数是n-1或n时，△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n+11时，

△=(n+1)2-4n(n-1)=-3(n-1)2+4,

因为n为大于1的整数，所以，要使△≥0,n只能取2.

当n=2时，方程x2+3x+2=0,2x2+3x+1=0均有整数根，故满足要求的(a,b,c)

只有两组：(1,3,2)、(2,3,1).

2.(2021·全国·九年级竞赛)在方程组中，x,y,z是互不相等的整数，

那么此方程组的解的组数为()

A.6B.3C.多于6D.少于3

【答案】A

【详解】利用x2+y3+z2-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz+yz)=0,把原方程组

转化为解不定方程3xyz=-36.

因为x3+y3+z3-3xyz

=(x+y+2)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

=0,

所以x3+y3+z3=3xyz,从而得3xyz=-36,

即xyz=-12.

因此x,y,z中一定是两正一负，且x+y+z=0,

又12=1×1×12=1×2×6=1×3×4=2×2×3,

则上述两种组合中，只有12=1×3×4符合条件.

所以

或或或或或

共有6个解。故选A.

二、填空题

3.(2021·全国·九年级竞赛)已知

.

则x2+(1+√7)xy=

【答案】

【答案】10

【详解】解因

由2=√4√7√5=3知

所以x=2,于是

故填10.

4.(2021-全国·九年级竟赛)若1≤p≤20,1≤q≤10,且方程4x2-px+q=0的两根均为

奇数，则此方程的根为.

【答案】

【答案】x?=x?=1

【详解】填x?=x?=1.理由：设x,x?是方程的两个根，则

,

因为x,x?均为奇数，故x?+x?为偶数，x?·x?为奇数.

又1≤p≤20,1≤q≤10,

则

故

由△=p2-16q≥0,解得p≥8.

从而，

所以，当p=8或4.即p=8或p=16.

所以，

当p=8

时，x?=x?=1,符合题意；

当p=16时，x?与x?均为无理数，不合题意，舍去.

故原方程的根为x?=x?=1

5.(2021全国·九年级竞赛)以下算式中，相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟”=25,

“号”=4,那么六位数“飞天神舟六号”=

六号飞天神舟飞天神舟六号

【答案】102564.

【答案】102564.

【详解】设“飞天”=x,“六号”=y,则题设算式可化为

4×(10000y+100x+25)=25×(10000x+2500+y),

化简得4×(400y+4x+1)=10000x+2500+y

即1599y=9984x+2496,

即533y=3328x+832.

两边约去13得41y=256x+64,即41y=64(4x+1),64与41互质，64整除y.故y=64.

“号”=4与题设符合.

代入得41=4x+1,x=10.

于是“飞天神舟六号”=102564.

6.(2021·全国·九年级竞赛)已知一个矩形的长、宽分别为正整数a,b,其面积的数值

等于它的周长的数值的2倍，则a+b=或.

【答案】25

【答案】2518

【详解】根据题意，得ab=2(2a+2b),

即ab-4a=4b,

因为a,b均为正整数，且ab,所以b-4一定是16的正约数.

当b-4分别取1,2,4,8,16时，代入上式得：

b-4=1时，b=5,a=2