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一元二次方程的解法

一、知识要点：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学

习数学的基础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0,(a≠0)，它是只

含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方

程有四种解法：

1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如

(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边

=110，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b2-4ac≥0时，x+=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac

≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac

≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5