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随机事件及其概率

1.1随机事件1.3概率的公理化定义1.2古典概型和几何概率1.4条件概率与事件的独立性目录1.5全概率公式和贝叶斯公式

第1章随机事件及其概率自然界和日常生活中不断地发生着各种各样的现象，通常可以将其分为两类.一类称为确定性现象或必然现象，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象.例如，在没有外力的作用下，做匀速直线运动的物体必然保持其匀速直线运动状态；在一个标准大气压下，水加热到100℃必然会沸腾；上抛的石子一定会落下；等等.另一类称为随机现象或偶然现象，即在一定条件下可能发生也可能不发生的现象.例如，投掷一枚硬币，不能提前预知将出现正面还是反面；从一大批产品中任取一个，这个产品可能是正品也可能是次品；远距离射击，有可能击中也有可能击不中；等等.

第1章随机事件及其概率显然，随机现象在每次试验中是否出现带有不确定性、偶然性.但人们通过长期的观察和实践发现，这些随机现象在大量的重复试验中呈现一定的规律性.例如，在相同的条件下，多次重复抛掷一枚均匀硬币时出现正面和反面的次数几乎相同.这种在大量重复试验中，随机现象所呈现的内在规律性称为统计规律性.概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门基础学科，它从数量的角度给出随机现象的描述，为人们认识和利用随机现象的规律性提供了有利的理论工具.其理论和方法被广泛地应用于自然科学、社会科学、工程技术和经济管理等许多领域.

1.1.1随机试验与随机事件1.1随机事件为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们要对随机现象进行大量的重复观察，我们把观察的过程称为试验.若一个试验满足以下要求：（1）可重复性：在相同的条件可以重复进行；（2）多可能性：每次试验的结果具有多种可能性，并且试验前可以明确所有可能出现的结果；（3）随机性：试验之前不能确定该次试验将出现哪一种结果.则称该试验为随机试验，简称为试验.通常用E表示.

1.1.1随机试验与随机事件在随机试验中，我们关心的是试验的结果，这些可能的结果，被称为随机事件，简称为事件.通常用大写字母A，B，C，…表示.例如，抛掷一枚均匀的骰子，观察它出现的点数，显然这是一个随机试验，不妨记为E.记{出现i点}（i=1，2，…，6），B={出现偶数点}，C={出现的点数不超过4}都为试验E所产生的随机事件.显然上述事件都只包含一个不可再分解的最简单的结果，这样的事件称为基本事件.而B、C则是由若干个基本事件组成的，这样的事件称为复合事件.概括地说，就是基本事件为不可分解的事件，复合事件可分解成多个基本事件.

1.1.1随机试验与随机事件另外，随机试验中的有些结果是必然发生的，我们称之为必然事件，记作；还有些结果是不可能发生的，称之为不可能事件，记作.例如，上例中，{出现的点数不超过6}是必然事件；{出现的点数超过6}是不可能事件.今后为了讨论方便，必然事件和不可能事件也看作随机事件.

1.1.2样本空间在一个随机试验中，我们首先关心的是其所产生的所有基本事件，从而引入了样本空间这一概念.定义1.1随机试验E的所有基本事件所组成的集合称为E的样本空间（samplespace），记为.其中的元素基本事件也称为样本点，记为.显然，样本空间是全体样本点的集合，即.而任意的随机事件A则是部分样本点构成的集合，也是样本空间的子集，即.所以，在具体问题中，给定样本空间是对随机现象进行数学描述的第一步.

1.1.2样本空间例1-1在投掷一枚硬币观察其出现正面还是出现反面的试验中，有两个样本点.记表示“正面”，表示“反面”,则样本空间为.例1-2记录某电话台在1min内接到的呼叫次数，记表示“接到i次呼叫”，则样本空间.例1-3从一批电视机中任意抽取一台，测试它的使用寿命，则样本空间为.例1-4设袋中装有3个黑球(编号为1，2，3)，2个白球(编号为4，5)，现从中任取2球，观察两个球的号码.设事件A表示“取出两个白球”.

1.1.2样本空间（1）可以记样本点表示“取出编号为i，j的球”，则样本空间，事件.（2）也可以记样本点表示“取出的第一个球编号为i，第二个球的编号为j”,则样本空间，事件.在这个例子中，（1）中的样本点不强调球的顺序，（2