2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题 .pdf

2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方

法历年真题

一、简介

偏微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术

领域。作为考研高等数学的一部分，偏微分方程是必考的内容之一。

本文将对2024年考研高等数学一偏微分方程概念与方法历年真题进行

分析和讨论。

二、问题一

【2023年考研高等数学一真题】设u(x,t)为一个具有连续偏导数的

二元函数，满足偏微分方程：

∂u/∂t+∂u/∂x=0

其中x为实数，t为正实数。已知初始条件为u(x,0)=sin(x)，求解

u(x,t)。

解答：

根据题目中的偏微分方程和初始条件，可以使用分离变量法对该问

题进行求解。假设u(x,t)的解为u(x,t)=X(x)T(t)，其中X(x)为只与x

相关的函数，T(t)为只与t相关的函数。

代入偏微分方程，得到：

X(x)T(t)+X(x)T(t)+X(x)T(t)=0

整理后，得到两个关于X(x)和T(t)的方程：

X(x)/X(x)=-T(t)/T(t)=λ

对于X(x)的方程，得到X(x)/X(x)=λ，即X(x)-λX(x)=0。求解该

常微分方程得到X(x)=C1e^(λx)，其中C1为常数。由于要满足题目中

给出的初始条件u(x,0)=sin(x)，可以得到X(x)=sin(x)。

对于T(t)的方程，得到T(t)/T(t)=-λ。求解该常微分方程得到T(t)=

C2e^(-λt)，其中C2为常数。

将X(x)和T(t)代入u(x,t)=X(x)T(t)，得到：

u(x,t)=(C1sin(x))(C2e^(-λt))

由于X(x)和T(t)的函数形式已经确定，我们只需要确定C1、C2和

λ的值即可。

根据初始条件u(x,0)=sin(x)，可以得到C1=1。由于t为正实数，

所以C2e^(-λt)不能为0。因此，我们可以得出结论λ0。

综上所述，u(x,t)的解为：

u(x,t)=sin(x)e^(λt)，其中λ0。

三、问题二

【2022年考研高等数学一真题】设u(x,t)为一个具有连续二阶偏导

数的二元函数，满足偏微分方程：

∂^2u/∂t^2-a^2∂^2u/∂x^2=0

其中a为正实数，已知初始条件为u(x,0)=e^(-x^2)，∂u/∂t(x,0)=0，

求解u(x,t)。

解答：

对于该问题，可以使用分离变量法和特征线法相结合的方法进行求

解。

首先，设u(x,t)的解为u(x,t)=X(x)T(t)，其中X(x)为只与x相关的

函数，T(t)为只与t相关的函数。

代入偏微分方程得到：

X(x)T(t)-a^2X(x)T(t)=0

整理后得到两个关于X(x)和T(t)的方程：

X(x)/X(x)=T(t)/(a^2T(t))=λ

对于X(x)的方程，得到X(x)/X(x)=λ，即X(x)-λX(x)=0。求解

得到X(x)=C1e^(√λx)+C2e^(-√λx)，其中C1和C2为常数。

对于T(t)的方程，得到T(t)/(a^2T(t))=λ。求解得到T(t)=

C3cos(a√λt)+C4sin(a√λt)，其中C3和C4为常数。

将X(x)和T(t)代入u(x,t)=X(x)T(t)，得到：

u(x,t)=(C1e^(√λx)+C2e^(-√λx))(C3cos(a√λt)+C4sin(a√λt))

由于X(x)和T(t)的函数形式已经确定，我们只需要确定C1、C2、

C3、C4和λ的值即可。

根据初始条件u(x,0)=e^(-x^2)和∂u/∂t(x,0)=0，可以得到：

C1e^(√λx)+C2e^(-√λx)=e^(-x^2)

-√λ(C1e^(√λx)-C2e^(-√λx))=0

由于方程与指数函数e^(-x^2)的性质相关，我们可以