构造法求数列通项.pdf

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构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，

常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途

径比拟困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，

以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解．而构造法就是根据数学问题的条件或结论

的特征，以问题中的数学元素为“元件〞，数学关系为“框架〞构造出新的数学对象或数学

模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用条件，创造性地

应用数学知识，极大限度地发散思维。

本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。

数列是高中很重要且有相当难度的一章容，在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和

一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，

这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。下面来专门谈一

谈构造法在研究数列中的灵活运用。

一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比

数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。

1．(为常数)，可构造等比数列求解．

2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如(为常数)，两边

同除以，得，令，则可转化为的形式求解．

例2〔1〕数列{a}中，，，求通项．

n

〔2〕数列满足，，求通项．

3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解．

例3数列满足，〔〕，求

．

.z.

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法二、构造等比数列求解：

例5数列满足，，求数列的通项公式．

二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、

叠乘法、迭代法等方法求解．

例6在数列中，，，，求．

例7数列满足，，〔〕，求．

三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数〞的方法构造等差数列或等比数列求解．

例8数列中，，〔〕，求．

，

例9数列，其中，且，求通项a．

n

例10假设数列中，，是数列的前项之和，且，求数列的

通项公式．

四、对*些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解．

如满足〔A，B，C，D为常数，且〕的数列，可令特征

方程为，变形为，假设方程有二异根，则可令

〔为待定常数