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爪形式行列式例题

爪形式行列式在高中数学中属于比较难的一类题目，但是只要理

解了其相关概念和解题方法，实际上也并不难。接下来，我们用例题

来一步步解析其解法。

首先，我们来看一下爪形式行列式的定义：设A为一个n阶方阵，

其爪形式行列式定义为：

$D=\begin{vmatrix}

a_{1,1}a_{1,2}\cdotsa_{1,n-1}a_{1,n}\\

a_{2,1}a_{2,2}\cdotsa_{2,n-1}a_{2,n}\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\vdots\\

a_{n-1,1}a_{n-1,2}\cdotsa_{n-1,n-1}a_{n-1,n}\\

a_{n,2}a_{n,2}\cdotsa_{n,n-1}a_{n,n}\\

\end{vmatrix}$

其中，除去最后一行和最后一列，其余部分为爪状；最后一列与

最后一行的交点为爪子的顶点。

接下来，我们通过一个例题来掌握爪形式行列式的解法：

例题：已知矩阵A=（$a_{i,j}$）n×n中，$a_{i,j}=

\begin{cases}

i+j,i\leqj\\

i-j,ij\\

\end{cases}$求$D=\begin{vmatrix}

a_{1,1}a_{1,2}\cdotsa_{1,n-1}a_{1,n}\\

a_{2,1}a_{2,2}\cdotsa_{2,n-1}a_{2,n}\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\vdots\\

a_{n-1,1}a_{n-1,2}\cdotsa_{n-1,n-1}a_{n-1,n}\\

a_{n,2}a_{n,2}\cdotsa_{n,n-1}a_{n,n}\\

\end{vmatrix}$

解析：

1.首先，我们可以将矩阵中的每一项进行展开，得到：

$D=\begin{vmatrix}

23\cdotsn+1\\

12\cdotsn\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\\

-n+3-n+4\cdots2\\

-n+1-n+2\cdots0\\

\end{vmatrix}$

2.然后，取爪子顶点为$(n,n)$处，并将顶点所在行与顶点所在

列相减，即：

$D=\begin{vmatrix}

23\cdotsn\\

12\cdotsn-1\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\\

-n+3-n+4\cdots2\\

2n-12n-3\cdots1\\

\end{vmatrix}$

3.接下来，将矩阵中的每一列平移一位，使它们和上一列对应

的行相减，即：

$D=\begin{vmatrix}

11\cdots1\\

11\cdots1\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\\

11\cdots1\\

2n-12n-3\cdots1\\

\end{vmatrix}$

4.可以观察到，矩阵中的前$n-1$行是相同的，因此我们可以将

该矩阵的最后一行拆开，得到：

$D=(2n-1)\begin{vmatrix}

11\cdots1\\

11\cdots1\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\\

11\cdots1\\

\end{vmatrix}-(2n-3)\begin{vmatrix}

11\cdots1\\

11\cdots1\\

\vdots\vdots\ddots\vdots\\

11\cdots1\\

\end{vmatrix}-\cdots-1\begin{vmatrix}

11\cdots1\\

11\cdots1\\

\vdots\vdots\ddots