重难点专题14 导数压轴小题十四大题型汇总（解析版）.docxVIP

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1恒成立问题之直接求导型 1

题型2恒成立问题之分离参数型 7

题型3恒成立问题之隐零点型 13

题型4恒成立问题之洛必达法则 19

题型5恒成立问题之两个函数问题 25

◆类型1同变量型 25

◆类型2不同变量型 31

◆类型3函数相等型 35

题型6恒成立问题之构造函数 41

题型7零点问题 46

题型8同构问题 53

题型9整数解问题 59

题型10函数凹凸性问题 67

题型11倍函数问题 71

题型12二次型函数问题 79

题型13嵌套函数问题 90

题型14切线放缩法 97

题型1恒成立问题之直接求导型

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.

2.讨论点的寻找是关键.

3.一些题型，可以适当的借助端点值来压缩参数的讨论范围

【例题1】（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知a∈R，设函数fx=x2-3x+2a,

A．[0,1] B．1,2 C．0,e D．

【答案】D

【分析】由函数解析式，在x≤1时应用二次函数性质及恒成立有f(x)min=2(a-1)≥0得

【详解】当x≤1时，f(x)的开口向上且对称轴

要使f(x)≥0

当x1时f(x)=x-ax

所以f(

若a1，则(1,a)上f(x)0，即f

所以f(x)min=f(

所以a≤

综上，a的取值范围为1,e

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据分段函数解析式，结合二次函数性质、导数研究不同定义域下最小值，由不等式恒成立，保证最小值都非负即可.

【变式1-1】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有fx=ex+1

A．0,1 B．1,e2 C．0,e

【答案】C

【分析】利用导数研究f(x)单调性，得极小值f(x0

【详解】由题设f(x)=ex+1

所以g(x)=f(x)在(0,+∞)上递增，显然

故?x0∈(0,+∞)使f

所以，在(0,x0)上f(x)0，f

故f(

要f(x)≥0在(0,+∞)

令y=1x+x且x∈(0,+∞)，则y

所以x∈(0,1)上y递减，x∈(1,+∞)上

且当x0=1时，

综上，2lna-

故选：C

【变式1-1】2.（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）若不等式ex-1-mx-2n-

A．-ln3e2 B．-ln3

【答案】A

【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数不同的取值，分类讨论，求得函数的最小值，再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.

【详解】令fx=e

当m0时，易知函数fx单调递增，函数值域为

当m0时，令fx

x

-

ln

ln

f

-

0

+

f

↙

极小值

↗

则fx

可得nm

令gx=-1

令gm=0

x

0,3

3

3,+

g

+

0

-

g

↗

极大值

↙

则gmmax=

故选：A.

【变式1-1】3.（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）一般地，对于函数y=ft和t=gx复合而成的函数y=fgx，它的导数与函数y=ft，t

A．12 B．1 C．e2 D

【答案】C

【分析】构造函数fx=eax-x

【详解】依题意eax≥x

设fx=e

设gx=aeax-1

当a≤0时，fx=

当a0时，由fx

所以fx在区间-

在区间-lna

所以fx的最小值是f

依题意可知1+ln

即b≤1+ln

设hx

h

所以hx在区间0,

在区间e-

所以hx的最大值为h

所以ba的最大值为e

故选：C

【点睛】利用导数求解不等式问题，首先将不等式转化为一边为0的形式，然后利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、极值、最值等性质，从而对问题进行求解.

【变式1-1】4.（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知函数fx=mex-x-n

A．e-2 B．-e-2 C

【答案】B

【分析】讨论m≤0，m0，利用导数得出mlnm+1≥mn，构造函数

【详解】fx=m

当m≤0时，fx0恒成立，则fx

当m0时，x∈-∞,-

x∈-lnm,+

∴fx

∵fx≥-1恒成立，∴lnm-

令hm=mlnm

m∈0,e-2时，h

hm在区间0,e-

∴hmmin=he-

故选：B．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出mlnm+1≥mn

【变式1-1】5.（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数fx=x-a-1ex+b，若存在

【答案】1,

【分析】设g(x)=(x-a-1)ex

【