重难点专题39 齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总（解析版）.docxVIP

重难点专题39齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1定点在原点的斜率问题 1

题型2定点在原点转化成斜率问题 5

题型3定点不在原点之齐次化基础运用 8

题型4定点不在原点的斜率问题 12

题型5定点不在原点转化为斜率问题 22

题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用 28

题型7齐次化妙解之等角问题 32

题型8点乘双根法的基础运用 38

题型9点乘双根法在解答题中的运用 46

题型1定点在原点的斜率问题

圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x1+x

如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．

“齐次”即次数相等的意思，例如fx=ax2+bxy

如果公共点在原点，不需要平移．

【例题1】直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于

【解析】联立mx+ny=1y2=4x

∴∴k

【变式1-1】1.直线mx+ny=1与椭圆x24+y

【解析】mx+ny=1x24+y23

【变式1-1】2.抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，且OA

【解析】设直线AB方程为mx+ny=1，Ax1?,?y1?,?

【变式1-1】3.不过原点的动直线交椭圆x24+y23=1于A、B两点，直线OA

【解析】设直线AB方程为mx+ny=1

mx+ny=1

于是kOAkOB=y1x1

【变式1-1】4.已知直线y=kx+4交椭圆x24+y2=1

【解析】法一（齐次化解法）：设A(x1,y1)，

步骤1：构建关于x、y的齐次式：

将直线变形为y-kx4=1代入x2

整理得；

步骤2：构建关于斜率的方程：

因为，方程两边同除以，得；

步骤3：利用韦达定理转化目标：

易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，故所求直线方程为．

法二（常规解法）：

设，，联立，=1\*GB3①代入=2\*GB3②消去得

，

设，，则

，，

所以

，

解得，故所求直线方程为．

【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值（斜率之积为定值也可以用本法）问题，通过对直线变形，采取“”的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘以“”，常数项乘以“”的平方，从而构建关于，的二元二次的齐次方程，再两边同时除以得到一个是以原点与曲线上连线的斜率为根的一元二次方程，再借助韦达定理使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”．

【变式1-1】5.设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．

【解析】法一：（常规方法）

设，，,设直线方程为，联立化简可得:，

所以，，

因为，所以

，

=1\*GB3①

又因为直线方程等价于为，即，

对比于，则代入=1\*GB3①中，化简可得：．

法二：（齐次化解法）

设直线方程为，联立，可得，

所以，化简可得，

整理成关于，的齐次式：，

进而两边同时除以，则，

记，的斜率分别为，，则，为方程的两个根，由韦达定理得，

因为，所以，

=1\*GB3①

又因为直线方程等价于为，即，

对比于，则，代入=1\*GB3①中，化简可得：．

题型2定点在原点转化成斜率问题

圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。齐次化是常见的代数处理技巧，圆锥曲线中用齐次化的方法解决和斜率相关的定值定点。

齐次化法简化计算适用范围：圆锥曲线中处理斜率之和与斜率之积类型问题。

以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤：

(一)基本特征

1.椭圆上有定点P(xo,yo)和动弦AB;

2.题设或结论中涉及PA,PB的斜率之积或斜率之和等情况.如k?·k?,k?+k?,,。

(二)解题步骤

1.设直线方程为m(x-xo)+n(y-yo)=1,其中点(xo,yo)为两相关直线的交点(这样设直线方程的形式，右边为1对联立齐次化较为方便);

2.椭圆方程变形为

3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化：

4.由韦达定理得k?+k?,k?·k?;

5.根据题设进一步求解。

注意：过一定点作两条直线

且两直线间存在斜率关系(显性或隐性)如果你发现题目出现了以上情况那这个题目八成可用齐次化来简化但要注意叙述的严谨性和完整性否则易被老师扣去过程分

【例题2】已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点．

【证明】因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即．

设，，则，．

将直线变形得，记，，则直线可化为，

将“”代入抛物线的方程得，整理得，