重难点专题49 排列组合十七大题型汇总（解析版）.docxVIP

重难点49排列组合十七大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1相邻与不相邻 1

题型2特殊位置特殊元素优先排 5

题型3分组分配 8

题型4课表问题 11

题型5相对顺序不变 16

题型6染色问题 18

题型7立体几何染色 23

题型8球放盒子（不同元素） 27

题型9下电梯 30

题型10公交车 33

题型11数字问题 36

题型12相同元素隔板法 40

题型13空车位 42

题型14最短路线问题 45

题型15走楼梯 49

题型16高低站位 52

题型17配对问题 57

题型1相邻与不相邻

相邻和不相邻排列：

1.相邻问题采取“捆绑法”;

2.不相邻问题采取“插空法”;

【例题1】（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（???）

A．192种 B．288种 C．144种 D．96种

【答案】D

【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．

【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有A3

第二步：将2名女宝“捆绑”在一起，共有A2

第三步：将“捆绑”在一起的2名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A2

第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C2

∴不同的排法种数有：A3

故选：D

【变式1-1】1.（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（????）

A．1120 B．7200 C．8640 D．14400

【答案】B

【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.

【详解】甲与乙相邻有A22种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有

再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C5

所以共有A2

故选：B.

【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（????）

A．130 B．115 C．215

【答案】C

【分析】n个元素圆桌环形排列的所有情况为An-

【详解】由题意可知，n个元素圆桌环形排列的所有情况为An-1

同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素，环排共有A2

又每个班两名同学可以排序，则有A22?

故选：C.

【变式1-1】3.（多选）（2024·全国·高三专题练习）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（????）

A．4把椅子排成一排，4人随机就座

B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻

C．4人均不坐在写着自己名字的座位上

D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻

【答案】AB

【分析】根据排列组合知识逐项分析即可.

【详解】A项中，4把椅子排成一排，4人随机就座的坐法种数为A44=24

B项中，利用“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43=4×3×2=24

C项中，第一个人有3种选择，然后第一个人坐的座位名字对应的人也有3种选择，剩余两人只有1种选择，所以共有9种坐法，故C错误；

D项中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻的坐法种数为A22A3

故选：AB.

【变式1-1】4.（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有种．（用数字作答）

【答案】8

【分析】先安排甲，有C41种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有

【详解】先按排甲，其选座方法有C4

∴乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A2

∴共有坐法种数为C4

【反思】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组