重难点专题24 向量压轴小题十大题型汇总（原卷版）.docxVIP

重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1平面向量的线性运算 1

◆类型1基底法 1

◆类型2三点共线方程组法 3

◆类型3坐标法 3

◆类型4等和线法法 5

题型2向量数量积最值取值范围问题 6

◆类型1定义法 6

◆类型2基底法（线性表示） 8

◆类型3坐标法 9

◆类型4极化恒等式法 10

◆类型5几何意义法 11

题型3向量模长最值取值范围问题 11

◆类型1坐标法 11

◆类型2几何意义法 12

◆类型3三角换元法 13

◆类型4三角不等式法 13

题型4向量共线的应用 14

题型5向量夹角 16

题型6向量平行与垂直的应用 17

题型7投影向量 17

题型8解析几何与向量 18

题型9奔驰定理与面积比 20

题型10向量四心 21

题型1平面向量的线性运算

◆类型1基底法

平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）；若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1＋λ

1.选定基底，则λ1、λ2，是唯一的

2.处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系.

【例题1-1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为边CD中点，点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，点N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=

A．点M，N，E三点共线

B．若AM=λ

C．BN

D．S△ABM=17

【变式1-1】1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yDC，且x

A．8243 B．4243 C．381

【变式1-1】2.（2022秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期末）已知O是ΔABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在

A．1,52 B．1,2 C．23

【变式1-1】3.（2020春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120°,AE=λ

A．73 B．273 C．2

◆类型2三点共线方程组法

【例题1-2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，AD=DB,E是线段BC上的点，且满足BE=2EC，线段CD

??

A．AE=13

C．AF=14

◆类型3坐标法

【例题1-3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若

????

A．满足λ+μ=1

B．满足λ+μ=2

C．λ+

D．λ+

【变式1-3】1.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥

A．2-1 B．1-2 C．2

【变式1-3】2.（多选）（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=4OA=4，动点P在CD上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧

A．若y=x，则x+y=1

C．AB?OP≥-2

【变式1-3】3.（多选）（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，AP=λAB

A．μ最大值为1 B．AP·AB最大值是8

C．λ最大值为5+14 D．AP?

【变式1-3】4.（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，OP=1，若AP

（1）λ的取值范围是；

（2）当λ+μ取得最大值时，AP=

【变式1-3】5.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线

◆类型4等和线法法

等和线原理：OA

OF=λOB

【例题1-4】（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、C是圆O:x2+y2=4上的三点，∠

题型2向量数量积最值取值范围问题

求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）

（2）利用向量的坐标运算（自