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二面角的几种方法及例题

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二面角大小的求法（例题）

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

POBA例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β

P

O

B

A

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

提示：，而且是直角三角形

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。

求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

CD

C

D

P

M

B

A

射影，那么PM为面ＡＢＣ的垂线！

图4B1AA1BLEF例、如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=eq\r(2)，求：二面角A1－AB－B1

图4

B1

A

A1

B

L

E

F

提示：ＡＡ１与ＢＢ１互相垂直

ＡＦ是辅助线且垂直ＡＢ，ＦＥ平行ＢＢ１

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

AHMD1C1B1A1BCD例

A

H

M

D1

C1

B1

A1

B

C

D

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，

PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。