等比数列人教A版高中数学必修五课件.pptVIP

2.4等比数列

引例：

①如下图是某种细胞分裂的模型：

细胞分裂个数可以组成下面的数列：

1

2

4

8

16

…

②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：

1

…

引例：

取出这些数列，观察：有什么共同特征？

一、探究发现

1，2，4，8，16，……

共同特征：

从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数。

(一)定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

理解:

1)公差d可为0，公比q不可以为0。且每一项不为0；

2)公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒。

3)证明一个数列为等比数列，其依据是

4)常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。

由定义可知：

观察上式，可以把每一个等式的左边相乘，右边也相乘，等式还成立。

叠乘法

(二)等比数列的通项公式

(n-1个等式)

对于等比数列中的任意两项an，am

(三)等比数列的推导公式

例1、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的通项公式与第2项.

解：设首项为a1，公比为q，则有

解得

解得

因此，an=5×2n-1

例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160，求an.

解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得

-729

9

小结：

1、注意在等比数列中，遇到q的偶次方要注意解的个数。

2、在等比数列的方程中常用的乘，除运算

3、在一些特定问题中，可以整体运算。

随堂练习

1、下列叙述中正确的是()

A、等比数列的首项不能为零，但公比可以为零。

B、等比数列的公比q0时，是递增数列。

C、若数列{an}为常数列，则此数列为等比数列。

D、已知等比数列{an}的通项公式an=(-2)n,则它的公比为-2。

D

2、数列m,m,m,…,m,…()

A、一定是等比数列

B、既是等差数列又是等比数列

C、一定是等差数列，不一定是等比数列

D、既不是等差数列，也不是等比数列

C

3、已知数列a,a(a-1),a(1-a)2,…是等比数列，则实数a满足

A、a≠1B、a≠0或a≠1C、a≠0D、a≠1且a≠0

D

A

4

7、等差数列{an}中，a1=2，公差不为0，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于__________

220

4

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：

(1)1，，9(2)-1，，-4

(3)-12，，-3(4)1，，1

±3

±2

±6

±1

若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

(四)等比中项

±4

练习

(1)已知等比数列{an}，a3=7，a7=21，则a5=()

A.35B.63C.D.

(2)已知等比数列{an}，a3=7，a7=21，则a3和a7的等比中项是()

A.35B.63C.D.

C

D

例题：

2、已知{an}是等比数列且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5

5

1.在等比数列{an}中,a5=4,a7=6,求a9

3.在2和30之间插入两个正数,使前3个数依次成等比数列,后三个数依次成等差数列,求插入的这两个正数.

9

9

6、18

巩固练习

4．三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为.

50，10，2或2，10，50

1、若m,n,p,q∈N+，且m+n=p+q，则am·an=aq·ap.

特别的，若2m=p+q，则am2=apaq

(五)等比数列的性质

4、等比数列所有奇数项符号相同；

所有偶数项符号相同。

(五)等比数列的性质

例题

9

±3

C

81

1、在等比数列{an}中，若a4·a8=9，则a2·a10=____，a6=____，a2·a3·a9·a10=____.

2、在正项等比数列{an}中，若a5·a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10的值是()

A、