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力学动态平衡问题

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力学动态平衡问题

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。

解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。②对物体进行正确的受力分析。③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。④选取恰当的方法解决问题。

根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。

1、图解法

在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。

适用题型：

（1）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。

例1、重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若对小球施加一通过球心竖直向下的力F作用，且F缓慢增大，问在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2如何变化？

图1-1

图1-1

图1-5图1-4图1-3图1-2

图1-5

图1-4

图1-3

图1-2

解析：选取小球为研究对象，小球受自身重力G，斜面对小球的支持力F1，挡板对小球的弹力F2和竖直向下的压力F四个力作用，画出受力示意图如图1-2所示。因为力F和重力G方向同为竖直向下，所以可以将它们等效为一个力，设为F，这样小球就等效为三个力作用，力的示意图如图1-3所示。画出以F1和F2为邻边的力的平行

图2-1

图2-1

图2-2图2-3图2-4

图2-2

图2-3

图2-4

解析：OA绳和OB绳中张力就是两根绳对O点的拉力，所以选取O点为研究对象，分析O点受力如图2-2所示，其中F为重物通过绳子对O点的拉力（其大小等于物重）。当B点缓慢上移时，O点一直处于三力平衡状态。其中F的大小、方向均不变，是恒力。F1的方向不变，F2的方向改变。

画出若干状态下以F1和F2为邻边的平行四边形，如图2-3所示。F不变，则平行四边形的对角线不变；拉力F1方向不变，则平行四边形的一组邻边OA方向不变。故由图可以看出F1逐渐减小，F2先减小后增大。

如果利用矢量三角形分析，如图2-4所示，拉力F、F1、F2构成一封闭矢量三角形，可以看出因F不变，所以三角形边长oa不变；因为边长ab变短，所以F1变小；因为边长ob先变短后又变长，所以F2先变小后变大。当F2与F1方向垂直时，F2最小。

所以OA绳中张力变小，OB绳中张力先变小后变大。

例3、如图3-1所示，一个重为30N的重物，用绳悬于O点，现用力拉重物，要使重物静止在悬线偏离竖直方向30°角的位置，所用拉力F的最小值为（）

A15NB30N

CD

图3-1

图3-1

图3-4图3-3图3-2

图3-4

图3-3

图3-2

解析：选取重物为研究对象，受力图如图3-2所示，其中G为物体重力，T为绳子对物体的拉力。因为重物静止，所以物体处于三力平衡状态。T和F的合力G’应与物重G等大反向。当拉力F的方向改变时，重力G为一个恒力不变，拉力T方向始终不变，因此画出不同状态下以T和F为邻边的平行四边形，如图3-3所示。在F方向改变的过程中，平行四边形的对角线不变，拉力T对应的邻边的方向不变，要使拉力F最小，就要使其对应的边长最短，可以发现，当F与T垂直时，F最小。由三角函数知识可知，此时F=Gsin30°=30N×0.5=15N。

本题若利用矢量三角形解则更为方便，如图3-4所示，重力G，绳拉力T，拉力F构成一封闭矢量三角形。因T的方向不变，要使拉力F最小，显然应当是F与T垂直时。

所以选项A正确。

（3）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。

例4、一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图4-1所示），不计绳与钉子间摩擦。如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？

图4-1

图4-1

图4-4图4-3图4-3

图4-4

图4-3

图4-3

图4-2

图4-2

解析：选取相框为研究对象，相框受重力G和绳的拉力F作用，由于是同一根绳子，所以两个拉力大小相等。虽然三个力的作用点不在同一点，但是它们的作用线交于同一点O，所以三个力是共点力。其受力图如图4-3所示，由对称性可知，以两个拉力F为邻边的平行四边形是菱形。若换用较短绳子，则两个拉力间的夹角变大（如图4-3所示），画出此状态下的受力图，如图4-4所示，由于G不变，所以菱形的对角线不变，当两拉力F夹角变大时，菱形两个邻边变长，所以拉力F变大。所以绳中的张力变大。

2、相似三角形法

画出力的矢