力学竞赛试题.docVIP

力学竞赛试题

海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会

第二届力学竞赛试题

1、如图1所示，质量均为m的n（n＞3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30°的斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。若已知圆柱半径为R，板长为l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数μ＝1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。

图1

图1

【解】先设圆柱，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断，直到圆柱与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱共n-1个柱体的整体平衡，由

有

为圆柱与间的作用力。

再研究圆柱，受力如图，由

有

设，由

当时，，可知A处先滑动，且。

由

将代入，得

所以

由

最后研究铰支板的平衡，由

所以

2、如图2所示，偏心轮质量为m，偏心距OC＝e。轮对质心C的回转半径为ρc，置于光滑水平面上。初始时OC呈水平，质心C有一水平初速υ，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。

图2

图2

【解】取质心平动参考系（图7），它以常速度运动。质心的相对速度沿轴。由动能定理，有

【解】办法1：利用装配应力改变内力分配。

在准确加工、装配的情况下，桁架中各杆的

受力为

（1）

（2）

因此，总是杆3先达到。为使各杆的图8

应力同时达到，可采用加装配应力的办法，即

预先将杆3做长，在强制装配以后，杆3将具有

预应力，而杆1、2将具有预拉应力。

由图8可知，设外载增至时，各杆的应力同时到达，节点到达。在小变形假设的前提下，叠加原理使用，与各杆伸长量之间应满足下列协调方程

(3)

各杆的轴力又满足下列物理方程

（）（4）

由方程（3）、（4）解得杆3长度的过盈量，

（5）

该桁架的许用载荷为

由式（5）可以看出，这个解答的适用范围有一定的限制，即若接近时，就变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得值也就没意义了。

办法2：对于短暂加载情况，除了上述办法外，还可以采用加热应力的办法来达到相同的目的，若材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的改变而改变，则杆3所需升高的温度为

4、物块C的重量为G，置于悬臂梁AB上（图4），梁长L，弯曲刚度EI，物块与梁间的摩擦系数为μ，求：

图4（1）物块开始滑动时的位置；

图4

（2）物块滑离B端时的速度。

【解】（1）设物块开始滑动时的位置为，如图9所示，则AD段的挠度曲线方程为

由此可知

（1）

由静力平衡条件，可求得摩擦力为

而物块开始滑动的条件为图9

由以上二式易得

将式(1)代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置为

（2）物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为

，

设物块滑离B端时的速度为，W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得

（2）

这里假定物块很小，其转动动能可忽略不计。

由于

而

故有

积分上式，得