全国初中数学优质课一等奖《二次函数与一元二次方程》教学设计.doc

22.2二次函数与一元二次方程

XXX市第一初级中学XXX

一、内容和内容解析

1．内容

二次函数与一元二次方程的联系

2．内容解析

模型思想、几何直观都是《课程标准2011年版》提出的10个核心概念之一．二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其它函数的基础．利用函数图象研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径．

二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0，而ax2＋bx＋c是二次函数的一般表达式．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，其几何意义是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标．

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布与抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系相关联．更一般的看，可以把解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h，理解为已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为h时，求对应的自变量的值．研究函数和方程的联系可以深化相关知识的理解，建立二次函数与一元二次方程的联系是对知识结构进一步的优化．

综上所述，本节课的教学重点是：了解一元二次方程根的几何意义；理解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的公共点的横坐标），知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

（2）经历用方程解决函数问题及用函数图象求解一元二次方程解的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想，培养学生的几何直观．

2．目标解析

目标（1）要求能用函数的观点看一元二次方程，知道解一元二次方程就是已知二次函数的值求自变量的值；知道函数反映的是变量之间对应关系的整体，方程则反映了变量的具体取值之间的对应关系．

目标（2）要求学生通过以函数图象为中介，用函数的观点看方程，进一步体会用图象可以直观地描述函数与方程之间的联系．

三、教学问题诊断分析

在八年级下册，学生通过一次函数与方程、不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系．在九年级上册，学生已经分别学习二次函数、一元二次方程，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．学生可以通过类比的方法初步得到二次函数与一元二次方程的联系并进行运用．其中从函数图象的角度看一元二次方程，实际上是已知二次函数图象求图象与横轴交点的横坐标．由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的，可以进一步通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．这样计算并结合函数图象确定根所在范围的方法是学生首次接触的方法．

基于以上分析，利用二次函数的图象求相应一元二次方程实数根的近似值，这是学习的难点．

四、教学支持条件分析

在估计一元二次方程的近似根的过程中，需要计算并比较几个自变量对应的函数值的符号，此时计算量比较大且数值的显示不够直观．故采取用几何画板显示函数图象，标识相应点的坐标，便于学生理解．

五、教学过程

1.复习引入

问题1观察下列四个图象，结合图象说明点A(B)的含义．

图1图2

图3图4

【师生行为】学生根据图象结合自己的理解说明点A(B)的含义，教师根据学生的回答进行归纳．

【设计意图】帮助学生回顾已建立的函数与方程之间的联系，并让学生利用已有知识，通过类比的方法，初步得到二次函数与一元二次方程的联系，体验数形结合的数学思想．

2.新课讲授

问题2如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝20t－5t2．

考虑以下问题，并结合图象解释你的结论：

（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？

（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

【师生行为】解题前，师生共同分析，寻找解题方法；学生在独立思考的基础上，经过计算给出答案，采取小组交流讨论、代表发言的方式，分别从数与形的角度分析问题．

【设计意图】二次函数与实际问题相结合，从数的角度，将二次函数问题转化为一元二次方程问题，利用方程知识解决问题；从形的角度来解释问题解决的过程．

问题3