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变量间的相关关系与统计案例(教师版)

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变量间的相关关系与统计案例

【知识要点】

1.相关关系的判断

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量和具有线性相关关系．

(2)样本数据(i＝1,2，…，n)的相关系数当时，两变量正相关，当时，两变量负相关，当且越接近于，相关程度越高，当且越接近于，相关程度越低．

2.回归方程的求法

求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．

若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据(i＝1,2，…，n)，则回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

其中，，称为样本点的中心．

【重点】回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．

3．独立性检验

0．050

0．010

0．001

3．841

6．635

10．828

设X，Y为两个变量，它们的取值分别为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x1，x2))和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y1，y2))，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：

y1

y2

总计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

利用随机变量(其中

②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；

④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是()

A．①②B．②③C．③④D．①④

解析：选D正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④，故选D.

相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．

【例2】(2014·湖北高考)根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

－0.5

0.5

－2.0

－3.0

得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则()

A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0

解析：选B由表中数据画出散点图，如图，

由散点图可知b0，a0，选B.

【例3】对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－155，则实数m的值为()

x

196

197

200

203

204

y

1

3

6

7

m

A.8B．8.2C．8.4D．8.5

解析：选Aeq\x\to(x)＝eq\f(196＋197＋200＋203＋204,5)＝200，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋6＋7＋m,5)＝eq\f(17＋m,5).

样本中心点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(17＋m,5)))，将样本中心点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(17＋m,5)))代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－155，可得m＝8.故A正确．

题型二回归方程的求法

【例4】某城市理论预测2011年到2015年人口总数与年份的关系如下表所示

请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出关于的线性回归方程；

据此估计2016年该城市人口总数.

参考公式：

解：(1)，……2分

=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，=

故y关于x的线性回归方程为=3.2x+3.6

(2)当x=5时，=3.2*5+3.6即=19.6据此估计2016年该城市人口总数约为196万.

【例5】某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）试估计平均获益率；

（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下组与的对应数据：

(元)

销量（万份）

（ⅰ）根据数据计算出销量（万份）与（元）的回归方程为；

（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求