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一类对数型函数的若干单调性

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关于“中学教育”中“中学学案”的参考范文。

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目录 1

正文 1

一类对数型函数的若干单调性： 3

正文

一类对数型函数的若干单调性

本文从一道例题的求解，悟出了一类含参的对数型函数的若干单调性，并通过证明获得其正确性，进而应用该性质求解与此类问题相关的一些题目，体现了该性质的简洁性和实用性.也给此类对数型函数在参数设定范围

的前提下，当函数有意义时的单调性作了定性

数学的实质就是揭示一定范畴内事物的数学规律，并利用规律解决数学问题的学科，而发现规律大多是从一些事例中归纳演绎产生的，事物的规律是事物的特性.函数的单调性是函数的重要性质之一，利用函数的单调性解题证题是常用的数学思想方法，本文从一例题的求解过程中，想到了三种解

法，经分析对比知，利用函数思想求解方法简洁明了，属优选法，悟出了含

参的对数型函数的若干单调性，并给出了证明.利用其进行求解求证，特别是此类数值的大小比较，复合型函数的单调区间计算等效果颇佳，也给此类

函数的性质结果作了清晰的结论，为解决一类问题提供了理论依据。

例比较大小：log23与log34

根据题目结构特征，如果我们知道了函数y=logx(x+1)的单调性，

问题就极易获解。

下证：函数f(x)=logx(x+1)在(1,+o)上是单调减函数。

证法1:设x1,则x1x+lx1ln(x+1)|nx0。

因为f(x)=Inx(x+1)=In(x+1)Inx,f(x)=xlnx-(x+1)In

(x+1)x(x+1)(Inx)2,又因为x+1x1ln(x+1)Inx0

(x+1)InxxInx(x+1)Inx-xlnx0

所以f(x)=xlnx-(x+1)In(x+1)x(x+1)(Inx)2

大小显而易见，由此产生了解法一.这里我们约定(1,+输)是为了使

结论充分成立，进而在进行探究。

证法2:作差，判定符号易知数列an=logn(n+1)是递减数列.由此

产生解法二。

利用放缩法也可以获解：因为log23log322=32=log33

3log34。

即log23log34由此产生解法三.但这样的放缩法证题解题，思维隐

蔽，难以切入。

不难看出，如果对数型函数f(x)=logx(x+1)的单调性已知，此类问题的求解就简洁明了，答案易于获得.下面我们对这一类对数型函数在参数一定的范围内，当函数有意义的条件下，对其若干单调性进行探究并进行

证明和应用。

一类对数型函数的若干单调性：

性质1函数f(x)=logx(x+a),若a0,则在x∈0,1e上是单

调增函数；在x∈le,+o上是减函数。

证明：f(x)=logx(x+a)=In(x+a)Inxf(x)=xlnx-(x+a)

In(x+a)x(x+a)(Inx)2

令g(x)=xInx,则有g(x)=(xlnx)=|nx+1g(x)0,所以x(x+a)In(x+a),即有f(x)0,

数；

即x∈0,le时，

所以f(x)为增函

当x∈(le,+%)

所以x

时，g(x)0,g(x)

为增函数函数，a0,

性质2函数f(x)=logx(ax+b),

(1,+o)

若a1,b1,则该函数在x∈

上是单调递减函数。

性质3函数f(x)=logx(ax+b),若，0

性质4函数f(x)=logx(ax+b),

(0,1)上是单调减函数。

若，a1,b1,则该函数在x∈

例1比较大小：log35与log46。

解因为f(x)=logx(x+2)在a0时，x∈le,+o上是减函数

(对数型函数的性质1),x1=3,x2=4,所以log3(3+2)log4

(4+2)

即有log35log46

例2把下列一组数按从小到大的顺序排列并进行证明：log1373,

log1494,log143。

解因为：log1373=log1313+2,log1494=log1414

+2,而f(x)=logxx+2在x∈0,le上是单调增函数(对数型函数的性质1),而1e13140,所以log1373log1494;又因为

函数f(x)=log14x是单调减