2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docVIP

2024年高考数学二轮复习【举一反三】重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

题型梳理

题型梳理

【题型1直接法求最值】 2

【题型2配凑法求最值】 3

【题型3常数代换法求最值】 4

【题型4消元法求最值】 6

【题型5构造不等式法求最值】 7

【题型6多次使用基本不等式求最值】 10

【题型7实际应用中的最值问题】 12

【题型8与其他知识交汇的最值问题】 16

命题规律

命题规律

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数“或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=ft为常数),求的最值”的问题，先将转化为

,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

·。【知识点2基本不等式的实际应用】

·

。

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

?

?举一反三

【题型1

【题型1直接法求最值】

【例1】(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a0,则1的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】用基本不等式求解即可.

【解答过程】因为a0,

当且仅当

时取等号；

故选：B.

【变式1-1】(2023-北京东城：统考一模)已知x0,则的最小值为()

A.-2B.0C.1D.2v2

【解题思路】由基本不等式求得最小值.

【解答过程】∵x0,∴,当且仅：x=2时等号成立.

故选：B.

【变式1-2】(2023上·山东·高一统考期中)函(x0)的最小值为()

A.1B.3C.5D.9

【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.

当且仅：即x=3时等号成立，

当且仅：

故选：C.

【变式1-3】(2023下-江西-高三校联考阶段练习)(1+4x2)的最小值为()

A.9v3B.7+4v2C.8y3D.7+4v3

【解题思路】依题意可得,再利用基本不等式计算可得.

当且仅当2,即,等号成立，

)的最小值为7+4v3.

故选：D

【题型2

【题型2配凑法求最值】

【例2】(2023·浙江：校联考模拟预测)已知a1,见的最小值为()

A.8B.9C.10D.11

【解题思路】运用基本不等式的性质