湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期月考（八）数学试题（含答案）.doc

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大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（八）

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，．若，则（）

A． B． C． D．

2．已知等边的边长为2，点D，E分别为AB，BC的中点，若，则（）

A． B． C． D．

3．下列命题

①：若复数z满足，则；②：若复数z满足，则；

③：若复数，满足，则；④：若复数，则．

其中正确的是（）

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④

4．已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（）

A． B． C． D．4

5．学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（）

A．18种 B．24种 C．30种 D．32种

6．设，，，，则（）

A． B． C． D．

7．已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，D是直线上的一动点．AD与C交于点P（P在x轴的上方），过A作BP的垂线交BP的延长线于点E，当取最大值时，点D的纵坐标为（）

A． B． C． D．

8．如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（）

A． B． C． D．

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．为分析甲班学生某次数学调研测试情况，采用男生、女生分层随机抽样的方法，该样本中男生的成绩为，，，，，女生的成绩为，，，，，下列说法正确的是（）

A．若样本中男、女生两组成绩的平均数都为a，则样本的平均数等于a

B．若样本中男、女生两组成绩的中位数都为b，则样本的中位数等于b

C．若样本中男、女生两组成绩的第40百分位数都为c，则样本的第40百分位数可能大于c

D．若样本中男、女生两组成绩的方差都为d，则样本的方差一定不小于d

10．已知函数，则下列结论正确的是（）

A．函数的图象关于原点对称 B．函数在上单调递增

C．函数在上的值域为 D．函数在上有且仅有3个零点

11．已知函数，若恒成立，则a，b的可能取值为（）

A．， B．，

C．， D．，

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为______．

13．设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知，则______．

14．数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则______．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求角C的大小；

（2）设D为边AB的中点，求的最大值．

16．（15分）如图，在平行六面体中，，．

（1）若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离；

（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．

17．（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子竞价确定购买资格”的售卖方式：统一以0元为初始竞价，通过掷骰子确定新竞价，若点数大于2，则在上一次竞价基础上增加1元更新竞价，若点数小于3，则在上一次竞价基础上增加2元更新竞价；重复上述过程，直到竞价到达20元，即获得以20元为价格的购买资格，未出现竞价为20元的情况则失去购买资格，并结束竞价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，准备竞买．

（1）求甲同学竞价为2元的概率；

（2）试估计甲同学获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．

18．（17分）已知双曲线C：经过点，且离心率为．直线l经过双曲线的右焦点F，与双曲线的右支交于异于T点的A，B两点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线TA与直线TB的倾斜角互补，求直线l的方程；

（3）求符合以下要求的所有大于1的实数