勾股定理知识点及典型例题.doc

勾股定理知识点回顾

各位同学下午好，今天我将带领大家回顾下勾股定理方面的知识点。

一、首先请看黑板，

例1

试通过等积法得出啊a，b，c三者的关系。

没错，这个过程就是我们勾股定理的证明过程。

那么勾股定理具体是怎样表述的呢？我们拿出例1中的三角形ADE来研究，我们可以总结出勾股定理的定义。

首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a2＋b2＝c2。即勾股定理可以表述为：

二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。

既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a2＋b2＞c2

对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计算可知a2＋b2＜c2

大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

A、若已知边长：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

B、若未知边长，则直接进行第二步。

例2：在ABC中，若=（+）（-），则ABC是三角形，且

三、对于勾股定理，还有个很重要的概念：勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13

四、勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

例3：在直角三角形中两直角边分别为3、2，求斜边长;

例4：在直角三角形中两边长分别为3、2，求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。:

（3）用于证明线段平方关系的问题。

例5：如图所示，在中，为BC边上任意一点．求证：AB2－AP2=BP·PC（先直接因式分解不行，再间接分解）

（4）利用勾股定理，作出长为的线段。

例6：请在数轴上表示出

（5）解决实际应用问题

例7、梯子滑动问题：

（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动0.8米

例8、爬行距离最短问题：

如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（D）

A.B.C.D.

例9、折叠问题：

如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

五、例10：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；

⑷三边之间的关系：。

归纳下当题目提到直角三角形的时候应该立刻在脑子里想到：

（1）角度关系。

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

（5）勾股定理。

练习

1.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（5+9=14）

2.已知与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。

4.已知则以、、为边的三角形是

5.直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（D）

A.B.C.D.

回顾下。