培优课　数列求和的常用方法.DOCX

培优课数列求和的常用方法

非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想

1.转化思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；

2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.

类型一公式法

例1设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.

(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

解(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an＝3n－1，Sn＝eq\f(1－3n,1－3)＝eq\f(1,2)(3n－1).

(2)b1＝a2＝3，b3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，d＝eq\f(b3－b1,2)＝eq\f(10,2)＝5(d为公差)，所以数列{bn}的公差为5，

故T20＝20×3＋eq\f(20×19,2)×5＝1010.

类型二倒序相加法

例2设f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若S＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))，则S＝________.

答案eq\f(2023,2)

解析∵f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，∴f(1－x)＝eq\f(41－x,41－x＋2)＝eq\f(2,2＋4x).

∴f(x)＋f(1－x)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(2,2＋4x)＝1.

S＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))，①

S＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))，②

①＋②，得2S＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))))＋

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2024)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,2024)))))＋…＋

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2024)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2024)))))＝2023，

∴S＝eq\f(2023,2).

例3已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011，2).数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*.求S2021.

解由条件得f(2×1011－x)＋f(x)＝2×2，

即f(2022－x)＋f(x)＝4.

于是有a2022－n＋an＝4(n∈N*).

又S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2020＋a2021，

S2021＝a2021＋a2020＋…＋a2＋a1.

两式相加得

2S2021＝(a1＋a2021)＋(a2＋a2020)＋…＋(a2020＋a2)＋(a2021＋a1)＝2021(a1＋a2021)＝2021×4.

故S2021＝2021×2＝4042.

类型三并项法求和

例4已知数列an＝(－1)nn，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和Sn.

解法一若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝eq\f(n,2).

若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝eq\f(n－1,2)－n

＝－eq\f(n＋1,2).

综上所述，Sn＝eq\b\lc\{(\a\