第七章 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义.docx

7．2.1复数的加、减运算及其几何意义

学习目标1.熟练掌握复数的加、减运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．

导语

1．上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量之间的对应关系是什么？

2．实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？

3．多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？

一、复数的加、减法运算

知识梳理

1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则

(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.

2．对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)z1＋z2＝z2＋z1；

(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

例1设m∈R，复数z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．

解∵z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，

∴z1＋z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i

＝eq\f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.

∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.

∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.

即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．

反思感悟复数加、减运算的解题思路

两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．

跟踪训练1复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案A

解析复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．

二、复数加、减法的几何意义

问题我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？

提示设eq\o(OZ1,\s\up6(—→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up6(—→))＝(c，d)，则eq\o(OZ1,\s\up6(—→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(—→))＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以eq\o(OZ1,\s\up6(—→))，eq\o(OZ2,\s\up6(—→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线．

知识梳理

如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(—→))，eq\o(OZ2,\s\up6(—→))，则eq\o(OZ1,\s\up6(—→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up6(—→))＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(－－→))＝(a－c，b－d)，与复数z1－z2对应．

因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义．

例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)eq\o(AO,\s\up6(→))对应的复数；

(2)eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数；

(3)eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数及|eq\o(OB,\s\up6(→))|的长度．

解(1)因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，

所以eq\o(AO,\s\up6(→))对应的复数为－3－2i.

(2)因为eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，

所以eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，

所以eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).

反思感悟复数与向量的对应