第八章 8.6.3　平面与平面垂直.docx

8.6.3平面与平面垂直

学习目标1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．

一、二面角的概念

知识梳理

二面角

1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

2．画法：

3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.

4．二面角的平面角：

(1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图．

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．

例1如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．

跟踪训练1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

二、平面与平面垂直的定义和判定

知识梳理

1．平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β.

(2)画法：

2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

符号语言：a?α，a⊥β?α⊥β.

例2如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟证明平面与平面垂直的方法

(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．

(2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整．

跟踪训练2如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.

三、平面与平面垂直的性质定理

问题黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？

知识梳理

文字语言

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面________

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，______________，________?a⊥β

图形语言

例3如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.

跟踪训练3如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.

1．知识清单：

(1)二面角以及二面角的平面角．

(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．

(3)平面与平面垂直的性质定理．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．

1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()

A．有1个 B．有2个

C．有无数个 D．不存在

2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()

A．m⊥n，m∥α，n∥β

B．m⊥n，α∩β＝m，n?α

C．m∥n，n⊥β，m?α

D．m∥n，m⊥α，n⊥β

3．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是()

A．30°B．45°C．60°D．90°

4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.