限时小练28　利用椭圆性质求解最值或范围问题.DOCX

限时小练28利用椭圆性质求解最值或范围问题

1.已知椭圆eq\f(y2,a2)＋x2＝1(a1)的离心率e＝eq\f(2\r(5),5)，P为椭圆上的一个动点，若定点B(－1，0)，则|PB|的最大值为()

A.eq\f(3,2) B.2

C.eq\f(5,2) D.3

答案C

解析由题意可得：e2＝eq\f(a2－1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))eq\s\up12(2)，

据此可得：a2＝5，

椭圆方程为eq\f(y2,5)＋x2＝1，

设P点的坐标为(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝5(1－xeq\o\al(2,0))，

故|PB|＝eq\r(（x0＋1）2＋yeq\o\al(2,0))

＝eq\r(（x0＋1）2＋5（1－xeq\o\al(2,0)）)

＝eq\r(－4xeq\o\al(2,0)＋2x0＋6)，

当x0＝eq\f(1,4)时，|PB|max＝eq\f(5,2).

2.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为________.

答案4

解析由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积有最大值，即bc＝2.

∴a2＝b2＋c2≥2bc＝4，

∴a≥2，当且仅当b＝c＝eq\r(2)时等号成立.

∴2a≥4，即椭圆长轴长的最小值为4，

故答案为4.

3.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤eq\f(\r(14),2)，求椭圆离心率e的取值范围.

解依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).

因为点B为CF1的中点，所以B(－eq\f(c,2)，eq\f(kc,2)).

因为点B在椭圆上，所以eq\f(（－\f(c,2)）2,a2)＋eq\f(（\f(kc,2)）2,b2)＝1，

即eq\f(c2,4a2)＋eq\f(k2c2,4（a2－c2）)＝1.

所以eq\f(e2,4)＋eq\f(k2e2,4（1－e2）)＝1.

所以k2＝eq\f(（4－e2）（1－e2）,e2).

由|k|≤eq\f(\r(14),2)，得k2≤eq\f(7,2)，

即eq\f(（4－e2）（1－e2）,e2)≤eq\f(7,2)，

所以2e4－17e2＋8≤0.解得eq\f(1,2)≤e2≤8.

因为0＜e＜1，所以eq\f(1,2)≤e2＜1，

即eq\f(\r(2),2)≤e＜