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学科素养·思想方法十七

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学科素养·思想方法

一、方程思想

【思想解读】方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当地设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.

【应用链接】在直角三角形中,求线段的长时,常利用勾股定理建立方程求解.

在直角三角形中,两条直角边长(a,b)的平方和等于斜边长(c)的平方,即a2+b2=c2,求线段的长时,由此通过已知量与未知量的关系建立起方程(或方程组),然后解方程(或方程组)解决问题.

【典例1】(2015·黔西南中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与CD边上的点E重合,折痕FG分别与AD,AB交于点F,G,若DE=,则EF的长为________.

【思路点拨】设EF=x,可得AF的长,由AD=1可得DF的长,因为DE已知,故在

Rt△DEF中,可利用勾股定理列方程,再解方程即可.

【自主解答】设EF=x,由折叠的性质知AF=x,∵AD=1,

∴DF=1-x.在Rt△DEF中,DF2+DE2=EF2,即(1-x)2+=x2.解得x=.

答案:

数.

应用,当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.

【解析】当n=1时,a=(m2-1)①,b=m②,

c=(m2+1)③

因为直角三角形有一边长为5,分情况如下:

情况1:当a=5时,即(m2-1)=5,

解得m=±(舍去);

情况2:当b=5时,即m=5,再将它分别代入①③得

a=×(52-1)=12,

c=×(52+1)=13;

情况3:当c=5时,即(m2+1)=5,m=±3,

因为m0,所以m=3,把m=3分别代入①②得

a=×(32-1)=4,b=3.

综上所述,直角三角形的另两边长为12,13或3,4.

【变式训练】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).

(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时,△ABC为________三角形;当△ABC三边长分别为6,8,11时,△ABC为________三角形.

(2)猜想:当a2+b2________c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2________c2时,

△ABC为钝角三角形.

(3)判断当a=2,b=4时,△ABC的形状,并求出对应的c的取值范围.

【解析】(1)当两直角边分别为6,8时,斜边==10,

∴当△ABC三边分别为6,8,9时,△ABC为锐角三角形;

当△ABC三边分别为6,8,11时,△ABC为钝角三角形.

答案:锐角钝角

(2)当a2+b2c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时,△ABC为钝角三角形.

答案:

(3)∵c为最长边,2+4=6,

∴4≤c6,a2+b2=22+42=20.

①a2+b2c2,即c220,0c2,

∴当4≤c2时,这个三角形是锐角三角形;

②a2+b2=c2,即c2=20,c=2,

∴当c=2时,这个三角形是直角三角形;

③a2+b2c2,即c220,c2,

∴当2c6时,这个三角形是钝角三角形.

三、数形结合思想

【思想解读】抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理的逆定理主要是靠“算”来验证三条边长之间的数量关系,从而确定三角形的形状,体现了数形结合的思想.

【应用链接】数形结合主要体现在利用勾股定理解决实际问题中,将实际问题转换成直角三角形模型时,一般需要利用数形结合来解决.

【典例3】在一棵树的10米高B处有两只猴子,为抢吃池塘边水果,一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高________米.

世纪金榜导学【思路点拨】根据题意,画出图形,设树的高度为x米,利用勾股定理建立方程求解.

【自主解答】如图,设树的高度为x米,因两只猴子所经过的距离相等都为10+20=30(米).由勾股定理得:x2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15米.故这棵树高15米.

答案:15

【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,甲、乙二人从点D同时出发,甲沿DA,AB过桥到达点B处,乙沿DC过桥由点C直达B处.已知DA=6千米,AB=6千米,DC=2千米,假设甲、乙两人的速度相同,问:甲、乙二人谁