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立体几何综合（一）
一、路径最短问题
例1、（2022春·河南·高一校联考期中）“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋
诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚
呈圆形，半径为40km．山高为4015km，B是山坡SA上一点，且AB40km．为了发展旅
游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路
长度最短时，下坡路段长为（）
A．60kmB．126kmC．72kmD．1215km
SO3πSAl
（多选）例2、（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知圆锥的侧面积为，母线，
底面圆的半径为r，点P满足，则（）
AP2PS
22π
SO
A．当r1时，圆锥的体积为
3
337
B．当r时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
24
C．当r1时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为13
l3SO
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
2
—1—
例3、（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知正方体ABCDABCD棱长为2，其
1111
ABCCB
内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面11反射，又经平面
ADDACDM
11反射后，到达11的中点，则该光线所经过的路径长为.
二、柱、锥、台、球
表面积体积计算
SO
例4、（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的
SO
截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下
两部分几何体的体积之比是（）
A．1:8B．1:9C．1:26D．1:27
例5、（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹
为球面，已知菱形ABCD的边长为2，ABC30，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空
间中的点Q满足PQ1，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（）
14141616
A．π+43B．π+4C．π+43D．π+4
33
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