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习题六
6.1如图6－39所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
ijx???1边[i,j
ij
x??
?1边[i,j]包含在最小部分树内
ij
?0否则
数学模型为：
minZ?cx
ijij
??
?
x?5
ij
?i,j
?
1213 23 23 24 34?x ?x ?x ?2,x ?x ?x ?
12
13 23 23 24 34
图6－39
?x ?x ?x
?34 36 46
?x ?x ?x
?2,x
35
?2,x
?x ?x ?2
36 56
?x ?x ?x ?3
?23 26 36
12 13
24 34
12 13?x34?x35?x46?x56?3,x ?x ?x26?x36?
12 13
?x ?x ?x ?x
?23 35 26 56
?3,x
12
?x ?x ?x ?3
15 26 56
?x
?
?ij
?1或0,所有边[i,j]
6.2如图6－40所示，建立求v
6.2如图6－40所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
【解】弧(i，j)的长度记为c，设
ij
x??
?1弧(i,j)包含在最短路径中
ij
?0否则
minZ??cx
ijij
i,j
?x ?x
?1,x ?x ?x ?x
?12 13
12 23 24 25
?x ?x ?x ?x,x ?x ?x ?x
?13 23 34 35 24 34 45 46
?x25?x35?x45?x56,x46?x56?1
??x
?
ij
?1或0,所有弧(i,j)
如图6－40所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
x【解】设
x
ij
为弧（i,j）的流量，数学模型为
minZ?x?x
12 13
?x?x ?x ?x
?12 13 46 56
?x ?x ?x ?x
12 23 24 25
?x?x
?13 23
?x ?x
34 35
?x24?x34?x45?x46
?x
?25
x ?x ?x
35 45 56
??0?x
?
ij
?c,所有弧(i,j)
ij
求图6－41的最小部分树。图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。
图6－41
【解】图6-41（a），该题有4个解，最小树长为21，其中一个解如下图所示。
图6-41（b），最小树长为20。最小树如下图所示。
某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
两村庄之间修建公路的费用(万元
两村庄之间修建公路的费用(万元)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
12.8
10.5
8.5
12.7
13.9
14.8
13.2
12.7
8.9
2
9.6
7.7
13.1
11.2
15.7
12.4
13.6
10.5
3
13.8
12.6
8.6
8.5
10.5
15.8
13.4
4
11.4
7.5
9.6
9.3
9.8
14.6
5
8.3
8.9
8.8
8.2
9.1
6
8.0
12.7
11.7
10.5
7
14.8
13.6
12.6
8
9.7
8.9
9
8.8
10
【解】属于最小树问题。用加边法，得到下图所示的方案。
最低总成本74.3万元。
在图6－42中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图(a)和(b)的结果进行比较。
【解】图6－42(a):
图6－42
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}
最短路长21。
对于图6－42(b)：
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20；
结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。使用时间在1～5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3
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