高等数学例题及习题4省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

第四章例题及习题1/93

例1.设曲线经过点(1,2),且其上任一点处切线斜率等于该点横坐标两倍,求此曲线方程.解:所求曲线过点(1,2),故有所以所求曲线为第一节2/93

例2.求解:原式=例3.求解:原式=3/93

例4.求解:原式=4/93

例5.求解:原式=例6.求解:原式=5/93

例7.求解:原式=6/93

思索与练习1.证实2.若提醒:提醒:7/93

3.若导函数为则一个原函数是().提醒:已知求即B??8/93

4.求以下积分:提醒:9/93

5.求不定积分解：10/93

例1.求解:令则故原式=注:当时第二节11/93

例2.求解:令则想到公式12/93

例3.求想到解:(直接凑微分)13/93

例4.求解:类似14/93

例5.求解:∴原式=15/93

惯用几个配元形式:万能凑幂法16/93

例6.求解:原式=17/93

例7.求解:原式=例8.求解:原式=18/93

例9.求解法1解法2两法结果一样19/93

例10.求解法120/93

解法2一样可证或21/93

例11.求解:原式=22/93

例12.求解:23/93

例13.求解:∴原式=24/93

例14.求解:原式=分析:25/93

例15.求解:原式26/93

小结惯用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如27/93

思索与练习1.以下各题求积方法有何不一样?28/93

2.求提醒:法1法2法329/93

例16.求解:令则∴原式(切记变量还原)30/93

例17.求解:令则∴原式31/93

例18.求解:令则∴原式32/93

令于是33/93

原式例19.求解:令则原式当x0时,类似可得一样结果.（倒代换）34/93

小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲35/93

2.惯用基本积分公式补充(P205)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令36/93

37/93

解:原式(P205公式(20))例20.求例21.求解:(P205公式(23))38/93

例22.求解:原式=(P205公式(22))例23.求解:原式(P205公式(22))39/93

例24.求解:令得原式40/93

例25.求解:原式令41/93

思索与练习1.以下积分应怎样换元才使积分简便?令令令42/93

2.求以下积分:43/93

3.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得44/93

分子分母同除以4.求不定积分解:令原式45/93

例1.求解:令则∴原式思索:怎样求提醒:令则原式第三节46/93

例2.求解:令则原式=思索:怎样求47/93

例3.求解:令则∴原式思索:怎样求48/93

例4.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.49/93

解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”次序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数50/93

例6.求解:令,则原式=51/93

例7.求解:令则原式令52/93

例8.求解:原式=∴原式=53/93

例9.求解(法一):令∴原式=54/93

例9.求解(法二):令则∴原式=55/93

例10.求解:令则得递推公式56/93

说明:递推公式已知利用递推公式可求得比如,57/93

例11.证实递推公式证:注:或58/93

说明:分部积分题目标类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择u,v函数类型不变,解出积分后加C)3)对含自然数n积分,经过分部积分建立递推公式.59/93

例12.求解:令则可用表格法求屡次分部积分uv求导积分60/93

例13.求解:令则原式原式=61/93

例1.将以下真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法第四节62/93

(2)用待定系数法故对比分子系数，解得63/93

原式=（3）64/93

例2.求解:已知