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函数的连续性与可导性习题和答案

1.题目

证明函数$f(x)=\frac{x^2-5x-6}{x-3}$在$x=3$处不连续。

2.解答

显然，当$x\neq3$时，$f(x)=\frac{(x+1)(x-6)}{x-3}=x+1$，因而$f(x)$在$x\neq3$时连续。

现在考虑$x=3$处的连续性。因为$\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f(x)=4$，所以只需证明$f(3)$的值与$\lim\limits_{x\rightarrow3}f(x)$不相等即可。

由于$f(x)=\frac{(x+1)(x-6)}{x-3}=x+1$，因此$\lim\limits_{x\rightarrow3}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow3}(x+1)=4$。而$f(3)=\frac{3^2-5\times3-6}{3-3}$是一个无定义的表达式，因此$f(x)$在$x=3$处不连续。

3.题目

设$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},\x\neq0\\1,\x=0\end{cases}$，证明$f(x)$在$x=0$处连续。

4.解答

根据极限的定义，我们有

$$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$$

因此，只需证明$f(0)=\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x)$即可证明$f(x)$在$x=0$处连续。

当$x\neq0$时，$\frac{\sinx}{x}$是一个连续函数，因为$\sinx$和$x$都是连续函数。当$x=0$时，$f(x)=1$是一个常值函数，因为常值函数是一个连续函数，所以$f(x)$在$x=0$处连续。

因此，我们得到了结论：$f(x)$在$x=0$处连续。

5.题目

设函数$f(x)$可导，且对所有$x$，$f(x)0$，证明函数$f(x)$在定义域上严格单调递增。

6.解答

因为$f(x)0$，所以对于任意$x_1x_2$，有$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f(\xi)0$$

其中$\xi\in(x_1,x_2)$。因为$f(\xi)0$，所以$f(x_2)-f(x_1)0$，即$f(x_2)f(x_1)$。因此，函数$f(x)$在定义域上严格单调递增。