2023届江苏省南京建邺区数学八上期末学业水平测试试题含解析.docxVIP

2023届江苏省南京建邺区数学八上期末学业水平测试试题含解析

题目一：已知函数$f(x)=5x+1$，则$f(-1)=$____。

解析：将$x=-1$代入$f(x)=5x+1$中，可得$f(-1)=5\times(-1)+1=-4$。

答案：$-4$。

题目二：有数$3,x,7$，他们的中位数是$4$，则$x=$____。

解析：因为$3,x,7$的中位数是$4$，所以$x$要么大于等于$4$，要么小于等于$4$。由此得到两个不等式：

$$\begin{cases}3x\leq7,\\3\leqx7.\end{cases}$$

解得：$x=5$。

答案：$5$。

题目三：若$a$、$b$均为正整数，且$a+b=10$，则$ab$的最大值为______。

解析：根据算术平均数和几何平均数的不等关系，有$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$。代入$a+b=10$，得到$\sqrt{ab}\leq5$，因此$ab\leq25$。当且仅当$a=b=5$时，等号成立，此时$ab$取得最大值$25$。

答案：$25$。

题目四：矩形$ABCD$中，$AD=9$，$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{DC}$，则$AB$的长为____。

解析：因为$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$。设$AB=x$，则$\overrightarrow{AD}=x\vec{e_2}$，$\overrightarrow{AB}=x\vec{e_1}$，$\overrightarrow{DC}=\frac{x}{3}\vec{e_2}$。根据平行四边形的性质，$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$，即$x\vec{e_2}+\frac{x}{3}\vec{e_2}=9\vec{e_1}$，解得$x=15$。

答案：$15$。

题目五：一个只带正号的二项式的系数等于$\frac{1}{3}$，则该二项式的指数是______。

解析：设二项式为$(a+b)^n$，其中$a$和$b$均为正数，由二项式定理可得：

$$(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^na^0b^n.$$

因为二项式系数为$\frac{1}{3}$，所以$C_n^0:C_n^1:C_n^2:\cdots:C_n^n=1:\frac{1}{3}:\frac{1}{3^2}:\cdots:\frac{1}{3^n}$。根据等比数列的求和公式和$C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n$（即二项式$(a+b)^n$的系数之和为$2^n$）可得：

$$\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^n}}=\frac{1}{2^n},$$

解得$n=3$。

答案：$3$。

题目六：数轴上$ABCD$四点满足$|BC|=6$，$|CD|=10$，$AD$为直线$y=-1$，则$|AB|$的最大值是______。

解析：设$B$的横坐标为$x$，根据题意可列出方程组：

$$\begin{cases}x-C\frac{6}{2}=3,\\D-x\frac{10}{2}=5,\\-1-A\frac{AB}{2},\\AB-x\frac{AB}{2}.\end{cases}$$

化简得：

$$\begin{cases}x3+C,\\xD-5,\\A1-AB,\\AB2x.\end{cases}$$

因为$CD$，所以$3+CD-5$，即$C,D$的距离大于$8$。此时：

$$\begin{aligned}AB2x\\2(D-5)(\becausexD-5)\\2(D-C-8)(\becauseC3,x3+C)\\\leq20\end{aligned}$$

因此$AB$的最大值为$20$，当且仅当$B$是线段$CD$的中点时取得。

答案：$20$。

题目七：十个用数字$0\sim9$表示的球，恰好有两个$0$，分别放在一个黑色袋内和一个白色袋内，则从黑色袋中取两个球，从白色袋中取三个球的方法的总数为___