多属性效用理论.ppt

多属性效用理论;8.1优先序;2.二元关系的性质;2.二元关系的性质;二元关系的性质;;*;1.无差异类

定义8.1：无差异类

任何对象a∈A的无差异类I（a）是A中所有与a无差异的对象的结合，即：

无差异类I（a）有如下性质：;在购买专门用于收听音乐的调频收音机时，通常只有两个重要的因素，一个是价格x，一个是信噪比y。几乎所有人都会按以下规则购买这种收音机：

（1）对任意给定的价格，信噪比高比较好；

（2）对任意给定的信噪比，价格低的比较好。

这就是说，对决策人而言，对价格的偏好独立于对信噪比的偏好，反之亦然。这就是偏好独立（preferentialindepenence）;2.偏好独立

定义8.2：偏好独立与相互偏好独立;*;菜和汤的组合不满足相互偏好独立。;当偏好独立性成立时，可以定义单个属性的边际偏好序（marginalpreferenceorder）；属性X偏好独立于属性Y时，在属性X上的边际偏好序为：

同样的，属性Y偏好独立与属性X时，可以定义在属性Y上的边际偏好序为：

;课堂讨论;定理8.1：设?是定义在方案集A上的弱序，A中只有可数个无差异类，则存在实值的序数价值函数v，

更准确的，

;定理8.2设v是与A上的弱序?一致，且满足式(8.5’)和(8.5”)的实值序数价值函数，w是v的严格单调递增的实值变换(即保序变换)，即：;方案集和属性值集A为连续型时价值函数的存在性定理如下：

定理8.3：，?是A上的弱序，若

则存在定义在A上的实值函数v满足：

定理的证明参见文献（Fishburn1970）或者（Luce1965）;条件①为单调性(Monotonicity),即优势原则(dominance)。它指出：如至少有一属性值增加，而任何其他属性的值都不降低，则优先也提高。如果方案集A为有界，这个条件可认为是合理的。;条件②为偏好空间的连续性(continuity)，即阿基米德性(Archimedean)。该条件对于建立在函数v的存在性是必要的。这个条件确认：如果c按弱序?处在a和b之间，则必然存在a和b的凸组合和c无差异。;某企业拟在若干产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年。现仅考虑两种属性，第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y。设现金收益可以精确预计，企业偏好是：

设有下列产品对

（1）（0.100），（100，100）

（2）（0，400），（200，200）

（3）（100，500），（200，300）

（4）（0，500），（150，200）

每个产品中只能生产其中之一，企业应该作何种选择，为什么？;2.加性条件

前面讨论的存在性定理即能用于单目标决策问题，又能用于多目标决策问题。但是对于多目标决策问题，由于属性个数的增多，构造相应的价值函数是一件很困难的事情。最有效的办法是尽可能地降低维数，而最理想的情况是对每一个属性构造一个价值函数，然后按照加性的形式组合起来。;如果能够这样做，则说决策人的偏好结构是加性的。

因此，对于两个属性的价值函数v(x,y)，最简单的形式莫过于表达为各属性边际价值函数v1(x)和v2(y)之和，即：

v(x,y)=v1(x)+v2(y)(8.7)

形如式(8.7)的价值函数称为加性(序数)价值函数。;根据价值函数的定义，对于弱序?，两个属性的加性价值函数应满足：;亦即对某个??Y，应有：;比较式(8.9’)与式(8.9”)可知，属性X偏好独立于属性Y；同理属性Y偏好独立于属性X。

由上可知，对弱序?，两个属性X与Y相互偏好独立是价值函数v(x,y)为加性的必要条件。但这并不是充分条件。;例如，一个两属性决策问题的方案集中有9个方案，决策人所设定的这9个方案的价值函数值如下：

v(0,0)=0;v(0,1)=1;v(0,2)=2

v(1,0)=1;v(1,1)=3;v(1,2)=5

v(2,0)=2;v(2,1)=6;v(2,2)=7;由于每行与每列的价值函数值均增加，所以属性X与Y相互偏好独立。如果决策人的价值函数是加性的，应当存在严格递增函数w，使;两式相加再消去等号两侧的相同项，应该有;;由此可见，上面的例子中，虽然属性相互独立，但决策人的价值函数不能用加性函数表示，就是因为不满足Thompsen-条件。

;定理8.4设;相互偏好独立和Thompsen-条件也可用消去条件来代替。;用消去条件看似简单，但是要验证决策人的偏好结构满足消去条件通常很困难；相形之下Thompsen-条件要容易验证