备战2023年高考数学一轮复习-第2节-圆与方程.docxVIP

第2节圆与方程

1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

1.圆的定义与方程

定义

平面内到的距离等于的点的集合叫做圆?

方程

标准式

(x-a)2+(y-b)2

=r2(r0)

圆心为?

半径为?

一般式

x2+y2+Dx+

Ey+F=0

充要条件:?

圆心坐标:(-D2,-E

半径r=1

2.点与圆的位置关系

点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:

(1)若M(x0,y0)在圆外,则.?

(2)若M(x0,y0)在圆上,则.?

(3)若M(x0,y0)在圆内,则.?

3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.

?相交;?相切;?相离.?

(2)代数法:0

4.圆与圆的位置关系

设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r

圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r

方法

位置

关系

几何法:圆心距d与

r1,r2的关系

代数法:联立两圆

方程组成方程

组的解的情况

外离

?

?

外切

?

?

相交

?

?

?

内切

?

?

内含

?

?

1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

2.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.

(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.

3.圆系方程

(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数;

(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);

(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).

4.两圆相交时公共弦的方程

设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①

圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②

若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是()

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.±1

2.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

3.(选择性必修第一册P98习题T1改编)圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()

A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0

C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0

4.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()

A.内切 B.相交

C.外切 D.相离

5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是.?

圆的方程

1.半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=22均相切,则该圆的标准方程为()

A.(x-1)2+(y+2)2=4

B.(x-2)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y+2)2=4

D.(x-22)2+(y+22)2=4

2.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上,则圆C的方程为.?

3.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为.

求圆的方程的两种方法

(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.

(2)待定系数法:

①若已知条件与圆心(a,b)和