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二项式定理知识点总结

二项式定理

一、二项式定理：

（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。

对二项式定理的理解：

二项展开式有项

字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到

二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）

要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式

二、二项展开式的通项：

二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用

对通项的理解：

字母的次数和组合数的上标相同

与的次数之和为

在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

例1．等于（）

A．B。C。D.

例2．（1）求的展开式的第四项的系数；

（2）求的展开式中的系数及二项式系数

三、二项展开式系数的性质：

①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即

③二项展开式的各系数的和等于，令，即；

④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即

例题：写出的展开式中：

二项式系数最大的项；

项的系数绝对值最大的项；

项的系数最大的项和系数最小的项；

二项式系数的和；

各项系数的和

多项式的展开式及展开式中的特定项

求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。

例题：求多项式的展开式

求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。

例题：求的展开式中的系数

例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。

（2）求的展开式的常数项。

【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定

五、展开式的系数和

求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定

例题：已知，求：

（1）；（2）；（3）.

六、二项式定理的应用：

1、二项式定理还应用与以下几方面：

（1）进行近似计算

（2）证明某些整除性问题或求余数

（3）证明有关的等式和不等式。如证明：取的展开式中的四项即可。

2、各种问题的常用处理方法

（1）近似计算的处理方法

当n不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。

例题：的计算结果精确到0.01的近似值是 （）

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

整除性问题或求余数的处理方法

①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式

②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，若为其他数，则需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了

③要注意余数的范围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数

例题：求除以7所得的余数

例题：若为奇数，则被9除得的余数是（）

A．0B。2C。7D.8

例题：当且1，求证

【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定

综合测试

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在的展开式中，的系数为 （）

A． B． C． D．

2．已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （）

A．4 B．9 C．10 D．11

3．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．5310被8除的余数是 （）

A．1 B．2 C．3 D．7

5．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 （）

A．1.23 B．