数学（广东专用，2024新题型）（参考答案）-2024年高考第三次模拟考试.docx

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2024年高考第三次模拟考试

高三数学（广东）·参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

C

D

A

C

C

C

C

A

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9

10

11

BC

ABD

ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．113．（答案不唯一）14．7

四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分13分）

【解】（1）函数，，求导得，

当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.

（2）证明：当时，令，

求导得，

令，求导得，

函数在上单调递增，则，在上单调递增，

因此，所以.

16．（本小题满分15分）

【解】（1）不妨设，

，

由余弦定理得，

在中，，

平面平面，平面平面平面，

平面．

平面，

四边形是菱形，，

又，且平面平面平面．

（2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，

平面平面，平面平面，

平面，

又四边形是菱形，，

均为等边三角形，

以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，

建立空间直角坐标系（如图），

则，

由（1）平面，

为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

则即．

令，可得，，

平面与平面的夹角的余弦值为．

17．（本小题满分15分）

【解】（1）

如图1，由已知可得，，

所以.

又，所以，.

所以，椭圆的标准方程为.

（2）设，，.

则由已知可得，方程为：，方程为：.

将代入、方程整理可得，

，.

显然、点坐标都满足方程.

即直线的方程为，

令，可得，即点坐标为.

所以，为定点.

18．（本小题满分17分）

【解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况，

要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：

①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；

②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，

所以所求概率为.

（2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则，

由全概率公式知：，

当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时；

当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时，

因此，

令，求导得，由，得，

当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

则，于是当时，取得最大值，

所以的最大值为，此时的值为.

19．（本小题满分17分）

【解】（1）若等于同一常数，

根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以，

解得，与矛盾，

所以不存在一组解，使得等于同一常数；

（2）因为，

依题意时，即当时，，

所以，，

设有个，则有个，由，解得，

所以，，，，中有个，个，

所以方程①的解共有组.

（3）因为平均数，

又方差，即，

所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，

又当时，即，方程无正整数解，故舍去；

当时，即是密集时，取得最小值，

且.