高中数学课件：6-2-4　向量的数量积一.pptx

第六章§6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积(一)1知识梳理PARTONE知识点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).非零向量∠AOB当θ＝0时，a与b；当θ＝π时，a与b.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.反向同向知识点二向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.|a|·|b|cosθ|a||b|cosθ0知识点三投影向量投影投影|a|cosθe知识点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.，a与b同向，，a与b反向.|a||b|(3)当a∥b时，a·b＝－|a||b|特别地，a·a＝或|a|＝.(4)|a·b||a||b|.|a|2≤思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.两个向量的数量积是一个向量.()2.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.()3.若a·b0，则a与b的夹角为钝角.()4.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0.()×√××2题型探究PARTTWO一、向量的夹角例1已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？又∠AOB＝60°，因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.反思感悟求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.A.30° B.60°C.120° D.150°√所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.二、求两向量的数量积例2已知正三角形ABC的边长为1，求：反思感悟定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.0－16－16三、投影向量例3已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.解∵|b|＝1，∴b为单位向量.延伸探究本例改为求b在a上的投影向量.反思感悟投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为跟踪训练3已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量.解∵a·b＝|a||b|cosθ，3随堂演练PARTTHREE√123452.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为A.60° B.120°C.135° D.150°√解析设a与b的夹角为θ，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.123453.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.若a⊥b，则a·b＝0D.|a|＝√√12345解析a·b＝0?a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，12345√123455.已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为______.e解析设a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为|a|cosθe＝2×e＝e.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义.(3)投影向量.(4)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：向量夹角共起点；a·b0?两向量夹角为锐角，a·b0?两向量夹角为钝角.4课时对点练PARTFOUR基础巩固1.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于√12345678910111213141516A.直角梯形