专题04 数列（4考点+20题型）（原卷版）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）.docx

专题04数列

考点一：数列的概念与表示

知识点1数列的有关概念

1、数列的三种表示：列表法、图象法和解析式法．

2、数列的分类

分类标准

类型

满足条件

按项数

分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

其中n∈N*

递减数列

常数列

按其他标准分类

有界数列

存在正数M，使

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

周期数列

对n∈N*，存在正整数常数k，使

3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．

知识点2数列通项公式的求法

1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

2、公式法

（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．

（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)

要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解

4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)

要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解

5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法

要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解

类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出

类型二：形如型的递推式：

（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出

（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。

6、取倒数法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)

要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；

②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解

7、三项递推构造：适用于形如型的递推式

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．

8、不动点法

（1）定义：方程的根称为函数的不动点．

利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．

（2）在数列中，已知，且时，（是常数），

=1\*GB3①当时，数列为等差数列；

=2\*GB3②当时，数列为常数数列；

=3\*GB3③当时，数列为等比数列；

=4\*GB3④当时，称是数列的一阶特征方程，

其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；

（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．

（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、