五年级奥数——巧算与速算(含解析).docVIP

速算与巧算

教学目标

掌握常用的运算律并能熟练运用；

掌握周期性数字的特征；

掌握从简单情况找规律的思想方法。

巧用运算律

在计算的过程中，运算律的应用是最常用的技巧。经常用到的运算律有：

⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶乘法交换律：

⑷乘法结合律：

⑸乘法分配律：（反过来就是提取公因数）

⑹减法的性质：

⑺除法的性质：

上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用。要注意添括号或者去括号对运算符号的影响：

⑴在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变；

⑵在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号；

⑶在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；

⑷在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算。

此外，下面的三个结论也是很有用的：

和不变性质：如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变；

积不变性质：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，它们的积不变；

商不变性质：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变。

（“走进美妙的数学花园”初赛）计算：

【分析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和。

原式

（武汉明心奥数挑战赛）计算：

【分析】原式

[巩固]计算：

[分析]原式

（“走进美妙的数学花园”决赛）计算：

【分析】原式

[巩固]计算：

[分析]（法）原式

（法）也可以用凑整法来解决。

原式

计算：

【分析】原式

（香港圣公会数学竞赛）计算：

【分析】原式

[拓展]计算：

[分析]原式

（“希望杯”第一试）

【分析】原式

计算:

【分析】（法）原式

（法）原式

（法）原式

周期性数字

周期性数字就是由相同的数重复写几遍而来，这些数字可以利用规律来巧妙分解。

如：

我们可以发现，上面的数字关键在于看有几个周期，这样原来的数就可以分解成一个周期数乘

以这种类型的数，两个之间的的个数就是每个周期内的数字个数减。

也可以这样理解，其实就是在每个周期数最后一位下填，然后看的中间隔几个数就填几个。

如的两个之间有个数字，所以，。

（“走进美妙的数学花园”初赛）计算：

【分析】原式

[巩固]（年春武汉明心奥数挑战赛）计算：

[分析]原式

（“我爱数学夏令营”）计算：

【分析】原式

[前铺]计算：

[分析]观察发现乘号后面的数字与周期性数字都相差，所以可以先转化成周期性数字。

原式

[巩固]（“陈省身杯”数学邀请赛）计算：

[分析]本题可以用以前学到的方法来计算，也可以转化成周期性数字来计算。

（法）原式

（法）原式

（法）原式

从简单情况找规律

有些四则运算中的数位数特别大，但其往往是由一个或几个相同的数字重复出现构成的，对于这种情况不能直接计算，可以先算算位数为、、……的简单情况，从中找出规律再进行计算。

计算：

【分析】（法）从简单情况入手找规律：；；，……，

所以：。

（法）也可以用前面学过的凑整法来计算。

计算：

（法）；；，……，所以，。

（法）也可以用前面学过的积不变性质来计算。

[拓展]计算：

[分析]（法），，，……，所以，

（法）

求的末三位数字。

原式的末三位数字和每个加数的末三位数字的和的末三位相同，这些加数的末三位中有个，个，个，，所以原式的末三位数字为。

[拓展]计算：

[分析]原式

求下列算式计算结果的各位数字之和：

原式

，

数字和为：。

附加题：

（全国小学数学奥林匹克）计算：

【分析】原式

计算：

【分析】这道题目，对简单情况进行计算后发现无规律可循，这时我们就要考虑采取别的方法。注意，所以，而计算是刚学过的。所以，

原式

求算式的计算结果的各位数字之和。

【分析】

，

数字和为：。

巩固练习：

计算：

原式

计算：