新高考数学复习立体几何解答题练习（较难建系）(学生版+解析版).docx

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新高考数学复习立体几何解答题练习（较难建系类型）

1．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，.

(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l，求证：平面ABCD；

(2)点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为，求点E到平面PCD的距离.

2．如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

3．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，

（1）证明：平面平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与平面所成角正弦值.

4．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为.

（1）证明：；

（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？

5．已知三棱台的体积为，且，平面.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求二面角的正弦值.

6．如图，在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，，点分别在棱上，，且三棱锥的体积为.

(1)求的值；

(2)若点满足，求直线与平面所成角的余弦值.

7．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.

(1)若，求证：平面；

(2)若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.

8．在四棱雉中，四边形为矩形，，，点为线段的中点．已知点在平面上的射影在四边形外，且直线与平面所成的角为．

(1)设点为线段的中点，求证：；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

9．如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点．

(1)在三棱锥中，证明：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

10．如图，三棱台中，，，D为线段AC上靠近C的三等分点

(1)在线段BC上求一点E，使平面，并求的值：

(2)若，，点到平面ABC的距离为，且点在底面ABC的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值．

11．如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置.

(1)证明：；

(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.

12．如图，在三棱柱中，底面是边长为8的等边三角形，，，，在棱上且满足．

(1)求证：平面平面；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．

13．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．

(1)若，，求证：，，，四点共面；

(2)求；

(3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

新高考数学复习立体几何解答题练习（较难建系类型）

1．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，.

????

(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l，求证：平面ABCD；

(2)点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为，求点E到平面PCD的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明平面ABCD；

（2）由题意，先证，然后取的中点，建立以点为原点的空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

【详解】（1）因为，平面PCD，平面PCD，

所以平面PCD.

又因为平面PAB，平面平面，

所以.

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以平面ABCD.

（2）??

设O为AD的中点，

因为，

所以.

又因为平面平面ABCD，

平面平面，

所以平面ABCD，

又平面ABCD，

所以.

由，，，

可知ABCD四边形为等腰梯形，得，

所以，

所以.

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，

设平面ABCD的法向量为，

设，则，

，，

因为直线AE与平面ABCD所成角为，

所以，

所以①

因为点E在棱PB上，

所以，

即，

所以，，，

代入①解得或（舍去）

，，，

设平面PCD的法向量为，则

，

令，得，，

所以，

所以点E到平面PCD的距离

.

2．如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）作于点连接，可证，，可证直线平面，即可证明；

（2）以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量可求二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：作于点连接，

∵，，，

∴，∴，

即，，又，

∴平面，又平面，

∴.

（2）∵二面角的大小为，

∴平面平面，平面平面，，∴平面.

以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

∵,

∴.

∴，即.

∴，，，.

∴,，

设平面的法向量，

由，得

令，得.

易知为平面的一个法向量.

设二面角为，为锐角，则.

3．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，

（1）证明：平面平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与