高中数学课件：6-2-4向量的数量积一.pptx

平面向量的概念与运算向量的数量积复习引入前面我们学习了向量的加、减、数乘运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该如何定义？?在物理课中我们学习过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功，其中是与的夹角.情境新知探究追问1?如图，向量c、d的夹角是否为？若不是，又是什么？?答案：向量c、d的起点没有置于同一点，故夹角不是，平移向量d至向量c的起点，可知向量c、d夹角为．追问2对于任意两个非零向量a、b，他们夹角的范围是什么呢？有哪些情况比较特殊？两向量夹角的范围是[0，π]：当时，a与b同向；当时，a与b反向；当时，a与b夹角为锐角；当时，a与b夹角为钝角；当时，a与b夹角为直角，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b．?新知探究追问2追问1向量数量积的运算结果是向量还是数量？你能用自己的语言来描述一下向量数量积的定义吗？答案：，即两个非零向量的数量积就等于它们模长的乘积再乘以夹角的余弦值．?答案：是数量．因为表达式中，，，都是数量，所以三者的乘积也是数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关．?新知探究复习回顾?1.已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，则（）叫做向量a与b的夹角．2、向量数量积的定义?已知两个非零向量a与b，他们的夹角是，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作．并规定：零向量与任一向量的数量积为0．注意：中的“”不能省略，也不能用“×”来代替．?复习回顾(3)当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，.(4)(5)3.数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则θ=90oθ=0oθ=180o特别地，或︱cosθ︱≤1复习回顾例3ABC应用举例例2?已知，，的夹角，求．?解：.应用举例例4设，求a与b的夹角．??解：由，得.因为，所以．阅读教材P18页中间两段内容，说一说什么是向量的投影，什么是投影向量？问题3设a、b是两个非零向量，，我们作如下变换：①过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量，我们称这种变换为向量a向向量b投影；②上述过程中得到的向量就叫做向量a在向量b上的投影向量．?新知探究新知探究?若在平面内任取一点O，作，此时向量a又如何向向量b作投影？投影向量又是谁？追问1?答案：与前面的过程类似，此时因为两向量共起点，故只需过点M作直线ON的垂线，记垂足为M1，得到的向量就是向量a在向量b上的投影向量．新知探究追问2?在追问1的条件下，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系，来试着探究一下吧？?答案：显然，与e共线，于是．下面我们尝试通过对分类来讨论出更具体的关系．追问2?在追问1的条件下，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系，来试着探究一下吧？?当为锐角时，与e方向相同，，所以；?当为直角时，，所以；?当为钝角时，与e方向相反，，所以；?当时，，所以；当时，，所以；?对于任意的，都有．B向量数量积的几何意义?-1平面向量数量积的运算律（交换律）（1）已知向量和实数，则向量的数量积满足：（数乘结合律）（2）（分配律）（3）思考1：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？证明：对于（1），因为所以请同学们课下完成（2）的证明对于（3）D设方向相同的单位向量为，则ABOB1A1D1C整理可得所以所以思考2：向量的数量积满足结合律吗？为什么？说明：∴向量数量积不满足结合律.例1.对任意，恒有，对任意向量，是否也有下面类似的结论？解：例2：(1)例3.已知且与不共线，当k取何值时，向量与互相垂直？解：与互相垂直的充要条件是因为所以解得所以，当时，与互相垂直。小结：数量积运算律（交换律）（数乘结合律）（分配