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沪教版数学八年级上正比例函数和反比例函数

正比例函数和反比例函数是数学中的两个重要概念，在数学中有着非常广泛的应用。在沪教版数学八年级上，正比例函数和反比例函数也是一个重要的课题。本文将从以下几个方面来进行介绍：什么是正比例函数、什么是反比例函数、两种函数的特点、解题方法、应用实例等方面进行分析。

一、什么是正比例函数？

正比例函数是指，在一定条件下，两个变量之间的比例关系是固定的常数。其数学表达式可以写成$y=kx$，其中$k$为常数，称为比例系数。其中$x$和$y$是两个变量，且$x\neq0$，$y\neq0$。比例系数$k$表示了$x$和$y$之间的固定关系。当$x$变化时，$y$的值也跟着变化，但是$x$和$y$的比值始终不变。例如：小明的身高和体重呈现出正比例关系，他的身高每增加1cm，体重也就增加了0.5kg，如果小明的身高为170cm，他的体重就应该为85kg（170×0.5=85），相当于身高和体重的比值始终为2（即85÷170=0.5）。

二、什么是反比例函数？

反比例函数是指，在一定条件下，两个变量之间的乘积是固定的常数。其数学表达式可以写成$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数，称为比例系数。其中$x$和$y$是两个变量，且$x\neq0$，$y\neq0$。比例系数$k$表示了$x$和$y$之间的固定关系。当$x$变化时，$y$的值也跟着变化，但是$x$和$y$的乘积始终不变。例如：小明驾驶汽车行驶的时间和汽车行驶的路程呈现出反比例关系，如果小明前10分钟行驶了5km，那么他以后行驶的速度就会慢下来，在后10分钟内他可能只行驶了2km，这是因为汽车行驶的路程与行驶的时间成反比例。如果小明开车一直以不变的速度行驶到终点，那么他行驶的时间和路程所组成的比值始终不变。

三、两种函数的特点

1、正比例函数的特点：

（1）图像经过每个象限原点

（2）函数图像经过点$(x,y)$和$(kx,ky)$时，线段$OA$和线段$AB$所在的直线平行

（3）当$k$为正数时，函数图像从第三象限向右上角移动时，函数值和自变量值同时增加；由第一象限向右下角移动时，函数值和自变量值同时减小

（4）当$k$为负数时，函数图像从第三象限向左上角移动时，函数值和自变量值同时减小；由第一象限向左下角移动时，函数值和自变量值同时增加。

2、反比例函数的特点：

（1）函数图像经过$y$轴正半轴

（2）函数图像经过点$(x,y)$和$(\frac{k}{x},\frac{k}{y})$时，线段$OA$和线段$AB$所在的直线平行

（3）当$k$为正数时，函数图像从第一象限向右上角移动时，函数值和自变量的乘积同时增加；由第三象限向右下角移动时，函数值和自变量的乘积同时减小

（4）当$k$为负数时，函数图像从第一象限向左上角移动时，函数值和自变量的乘积同时减小；由第三象限向左下角移动时，函数值和自变量的乘积同时增加。

四、解题方法

1、正比例函数的解题方法：

（1）已知函数经过某两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，求函数表达式：可以通过求$y_2$与$y_1$的比值$k$得到。即$k=\frac{y_2}{y_1}$，然后通过代入其中一个已知点$(x_1,y_1)$求得$k$的值。然后得到函数表达式为$y=kx$。

（2）已知函数表达式$y=kx$和一个点$(x_0,y_0)$，求这个点在函数图像上的对应点：只需要将$(x_0,y_0)$代入函数表达式$y=kx$中即可得到对应的值。也可以先求出比例系数$k$，然后代入即可得到答案。

（3）已知函数图像上两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的坐标，求这两点连线所在的直线方程：通过求这两个点的斜率来得到直线方程。直线的斜率等于$\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k$。然后可以通过已知的点和斜率来得出直线方程。

2、反比例函数的解题方法：

（1）已知函数经过某两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，求函数表达式：可以通过求$y_1x_1$和$y_2x_2$的乘积$k$来得到。即$k=y_1x_1=y_2x_2$，然后通过代入其中一个已知点$(x_1,y_1)$求得$k$的值。然后得到函数表达式为$y=\frac{k}{x}$。

（2）已知函数表达式$y=\frac{k}{x}$和一个点$(x_0,y_0)$，求这个点在函数图像上的对应点：只需要将$(x_0,y_0)$代入函数表达式$y=\frac{k}{x}$中即可得到对应的值。也可以先求出比例系数$k$，然后代入即可得到答案。

（3）已知函数图像上两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的坐标，求