无穷集合及基数.ppt

集合与图论关于无穷集合及基数**第4节无穷集合及其基数可数集不可数集基数及其比较康托-伯恩斯坦定理悖论与公理化集合论主要内容：第2页,共29页，2024年2月25日，星期天*集合的基数亦称作集合的势。粗略的说，就是一个集合的“规模”，它的“大小”，或者更确切地说，它有多少个元素。通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。很明显，如果集合中只有有限个元素，我们只要数一数它有多少个可以了，这时集合的基数就是其中所含元素的个数。什么是集合的基数？值得注意的是无限集，它所含的元素有无穷多个，这时怎样去数？为了解决这个问题，我们首先从伽利略“悖论”说起。第3页,共29页，2024年2月25日，星期天*1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面的问题：N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…}这两个集合，哪一个的元素更多一些？伽利略“悖论”一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就是说N(2)?N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2)中，所以N(2)?N+。这样看来，N+中的元素要比N(2)中的元素要多。第4页,共29页，2024年2月25日，星期天*但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2)中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素不比N+中的元素要少。那么到底N+与N(2)中所含元素的个数是否一样呢？如果是，那么就有部分=整体？然而按照传统，部分怎么能等于全体呢？这就是伽利略“悖论”，它不仅困惑了伽利略，还使许多数学家亦束手无策。伽利略“悖论”第5页,共29页，2024年2月25日，星期天*1874年，Cantor注意到伽利略”悖论”。在1874年到1897年间完全解决了这个问题。Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程”就是作“一一对应的过程”。Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用于有限集，也适用于无限集。他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。一一对应与可数集第6页,共29页，2024年2月25日，星期天*定义4.1设A，B是集合，若存在着从A到B的双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)，这是因为它的元素可以一个一个的数出来。凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素通过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来，因此：一一对应与可数集定义4.2凡是与自然数集N+等势的集合，称为可数集(或可列集)。第7页,共29页，2024年2月25日，星期天*显然，N也是可数的。Cantor以此为出发点，对无限集合进行考察，他发现下面的集合都是可数集：(1)ODD={x|x?N，x是奇数}≈NF：N?ODDF(n)=2n+1（F：N+?ODDF(n)=2n-1）(2)EVEN={x|x?N，x是偶数}≈NF：N?EVENF(n)=2n（F：N+?EVENF(n)=2(n-1)）(3)N(n)={x|x=mn，m，n?N}≈NF：N?N(n)F(m)=mn一一对应与可数集第8页,共29页，2024年2月25日，星期天*(4)N×N≈N一一对应与可数集第9页,共29页，2024年2月25日，星期天*(6)Z×Z≈NF:Z?NF(n)=2n(n≥0)F(n)=2|n|-1(n0)(5)Z≈N一一对应与可数集第10页,共29页，2024年2月25日，星期天*Cantor在解决了Z×Z≈N后，用类似的思想解决了Zn≈N。在这种想法之下，Cantor得到了一个令人惊异的发现：Q≈N。并且利用他独创的“折线法”，巧妙的建立了Q与N的一一对应。为建立N到Q的双射函数，先把所有形式为p/q(p，