应力分析与应变分析.ppt

**2.多向受力下的应力分量（4）剪应力互等定律

由于单元体是处于静力平衡状态，所以绕单元体各轴的合力矩必须等于零，由此可以得到如下的关系式：这个式子叫做剪应力互等定律。它表明了：为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对出现。因此，实际上只需六个应力分量就可以表示点的应力状态。即九个应力分量只有六个是独立的。第21页,共48页，2024年2月25日，星期天**3.1.4点的应力状态点的应力状态：指受力物体内一点任意方位微分面上所受的应力情况。只有了解变形体内任意一点的应力状态，才能推断整个变形体的应力状态。要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。若已知过一点的三个相互垂直的微分面上的九个应力分量，如何求得过改点任意微分面上的应力分量？第22页,共48页，2024年2月25日，星期天**3.1.4点的应力状态已知某个坐标系中Q点的三个互相垂直的坐标面上的九个应力分量。现过Q点作一个任意斜切微分面ABC，这样就组成一个微小四面体QABC。外法线方向为N，则这个斜面与三个坐标轴x、y、z的方向余弦分别为：l=cos（N，x）；m=cos（N，y）；n=cos（N，z）。假设斜面ABC面积为dF，则dF在三个坐标面上的投影面积分别为：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF第23页,共48页，2024年2月25日，星期天**3.1.4点的应力状态现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状态，由静力平衡条件由∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0即有：SxdF–σxdFx–τyxdFy–τzxdFz=0SydF–σydFy–τxydFy–τzydFz=0SzdF–σzdFz–τyzdFy–τxzdFz=0整理得：或第24页,共48页，2024年2月25日，星期天**3.1.4点的应力状态全应力：全应力S在法线N上的投影就是斜微分面上的正应力σ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之和，即：斜切微分面上的切应力为：第25页,共48页，2024年2月25日，星期天**综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。第26页,共48页，2024年2月25日，星期天**应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则第27页,共48页，2024年2月25日，星期天**应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。第28页,共48页，2024年2月25日，星期天**3.5.1求和约定和应力张量（1）求和约定为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：第29页,共48页，2024年2月25日，星期天**其中等式右边各项可以写为或去掉求和符号而直接写为。其中有一特征：同一项中i为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非重复下标j称为自由标。哑标哑标自由标第30页,共48页，2024年2月25日，星期天**求和约定的注意要点：哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。如第31页,共48页，2024年2月25日，星期天**方程式左右两边的自由标必须相同。例如：第32页,共48页，2024年2月25日，星期天**练习：把如下公式展开，以为例。“，”表示求导数其中第33页,共48页，2024年2月25日，星期天**（2）应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到用矩阵表示为第34页,共48页，2024年2月25日，星期天**变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。第35页,共48页，2024年2月25日，星期天**x面y面z面x方向y方向z