抛物线的焦点弦性质.ppt

关于抛物线的焦点弦性质

xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p第2页,共20页，2024年2月25日，星期天

AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.第3页,共20页，2024年2月25日，星期天

XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456第4页,共20页，2024年2月25日，星期天

过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理xOyABF第5页,共20页，2024年2月25日，星期天

xOyABF第6页,共20页，2024年2月25日，星期天

F过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。第7页,共20页，2024年2月25日，星期天

代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0)证明：lyy2=2pxAMxB第8页,共20页，2024年2月25日，星期天

过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短第9页,共20页，2024年2月25日，星期天

xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则第10页,共20页，2024年2月25日，星期天

例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.xyFABCO第11页,共20页，2024年2月25日，星期天

例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.xyFABCO第12页,共20页，2024年2月25日，星期天

例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的

两点，且OA⊥OB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求△AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题第13页,共20页，2024年2月25日，星期天

例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=?4p2∴x1x2=4p2.第14页,共20页，2024年2月25日，星期天

例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1?y2)(y1+y2)=2p(x1?x2)∴AB过定点T(2p,0).第15页,共20页，2024年2月25日，星期天

同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(3)求弦AB中点P的轨迹方程