2024年上海市初三中考数学冲刺复习热点07 圆含详解.docxVIP

热点07圆

中考圆的命题趋势主要围绕圆的有关概念和性质进行考查，包括圆心角、圆周角和垂径定理等知识点。这些知识点常以选择题、填空题和解答题的形式出现，既考察学生对这些基础知识的掌握程度，也考察学生运用这些知识解决实际问题的能力。

在选择题和填空题中，通常会直接考查学生对圆心角、圆周角和垂径定理的理解和应用。例如，给定一个圆和一条直径，让学生求出某个角的度数或者某条弦的长度等。

在解答题中，可能会涉及到圆的对称性和垂径定理的综合应用，需要学生运用所学的数学知识进行推理和计算。此外，还可能会涉及到与其他知识点的综合应用，如与三角形的相似和全等、与二次方程等知识点的结合。

因此，备考中考时，学生需要深入理解与圆有关的角、圆的对称性、垂径定理等知识点，并学会分析圆类试题的解决方法及试题解法的特殊性。同时，还需要加强与其他数学知识的联系，注意总结题型与图式，进一步提高数学论证能力和探究能力。

考向一：圆的基本性质

【题型1垂径定理及其应用】

满分技巧

1．垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

2．垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

1．（2023?杨浦区二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为．

2．（2022?杨浦区三模）已知是的弦，如果的半径长为5，长为4，那么圆心到弦的距离是．

3．（2023?上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，．

（1）求的半径；

（2）求的正切值．

4．（2023?青浦区二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

【题型2圆心角、弧、弦的关系】

满分技巧

1．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

1．（2021?青浦区二模）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为．

2．（2023?闵行区二模）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．

（1）求证：；

（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．

3．（2023?崇明区二模）如图，已知在中，，，经过的顶点、，交边于点，，点是的中点．

（1）求的半径长；

（2）联结，求．

【题型3圆周角定理】

满分技巧

1．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

1．（2022?松江区二模）如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

2．（2023?长