湖南省“一起考”大联考2024届高三下学期模拟考试数学试题（一）（含答案与解析）.docxVIP

2024届高三“一起考”大联考（模拟一）

数学

（时量：120分钟满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，若为纯虚数，则（）

A. B. C.2 D.3

2.已知与的夹角为，则（）

A. B. C. D.

3.已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（）

A B.

C. D.

4.夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（）（不考虑材料厚度）

A. B. C. D.

5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积取值范围是

A. B. C. D.

6.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（）

A. B.

C. D.

7.如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（）

A.4 B. C. D.2

8.设，则（）

A. B.

C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知，则（）

A. B.

C. D.

10.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线与所成的角的大小为

B.直线平面

C.平面平面

D.四面体外接球的体积与正方体的体积之比为

11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知全集，集合，则__________．

13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.

14.已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在中，内角的对边分别为，且．

（1）证明：是锐角三角形；

（2）若，求面积．

16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中．

（1）证明：平面BCD；

（2）求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值．

17.已知函数，.

（1）若的极大值为1，求实数a的值；

（2）若，求证：.

18.某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：

观点

高二

高三

热爱

30

20

不热爱

20

（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；

（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．

附：．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

19.已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）若l交y轴于点P，，，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，若为纯虚数，则（）

A. B. C.2 D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算和纯虚数的概念求解即可.

【详解】因为，且为纯虚数，

所以解得，

故选：A．

2.已知与的夹角为，则（）

A.