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天津耀华中学高一期末数学试卷

题目一：选择题

1.定义函数$f(x)=\begin{cases}

\frac{1}{x^2-4x},x\neq0,4\\

k,x=0,4

\end{cases}$，则$k=$？

A.$\frac{1}{16}$B.$-\frac{15}{16}$C.$-\frac{1}{16}$D.$\frac{15}{16}$

解析：当$x\neq0,4$时，$f(x)=\frac{1}{x(x-4)}$，当$x=0$或$x=4$时，$f(x)=k$.因为函数在$x=2$处存在一个垂直渐进线，因此$x=0$或$x=4$处函数为无穷大或无穷小.由此可以列出方程组：

\begin{cases}

k=\frac{1}{16}\\

k=-\frac{1}{16}

\end{cases}

解得$k=-\frac{1}{16}$.所以答案选C.

2.已知$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1$，则$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=$？

A.$1$B.$3$C.$\frac{5}{2}$D.$2$

解析：通过通分，化简原式：

$$\frac{x(y+z)}{(y+z)(z+x)}+\frac{y(z+x)}{(z+x)(x+y)}+\frac{z(x+y)}{(x+y)(y+z)}=1$$

即：

$$\frac{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=1$$

移项得：

$$2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$$

将$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$展开：

$$\begin{aligned}\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{(x+z)+(x+y)+(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\\=\frac{2(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\\=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\end{aligned}$$

把(1)的结论代入得：

$$\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}=1$$

所以答案选A.

3.已知$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=0$，则$\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=$？

A.$0$B.$-4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}$C.$4\sin^2{\frac{A}{2}}+4\sin^2{\frac{B}{2}}+4\sin^2{\frac{C}{2}}$D.$4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}$

解析：根据二倍角公式$\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}$，$\sin{2B}=2\sin{B}\cos{B}$，$\sin{2C}=2\sin{C}\cos{C}$，并根据$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=0$，可以推导出：

$$\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=2\sin{A}\cos{A}+2\sin{B}\cos{B}+2\sin{C}\cos{C}=2\sin{A}(\cos{B}+\cos{C})+2\cos{A}(\sin{B}+\sin{C})$$

由于$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=0$，所以$\cos{B}+\cos{C}=-\cos{A}$，$\sin{B}+\sin{C}=\frac{\sin{2B+2C}}{2}=\frac{\sin{2A}}{2}$，所以：

$$\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=2\sin{A}(-\cos{A})+2\cos{A}\frac{\sin{2A}}{2}=-2\sin^2{A}+\sin{2A}=0$$

所以答案选A.

4.若方程$x^2+px+q=0$存在不小于0的实根，则$aq\leq\frac{p^2}{4}$成立的条件是：

A.$a\leq0$B.$a=1$C.$a\geq0$D.$a1$

解析：左式拆开可得：

$$aq\leq\frac{p^2}{4}\Leftrightarrow4aq\leqp^2$$

柯西-施瓦茨不等式告诉我们：

$$(a^2+b^2