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《直线与平面的夹角、二面角》学案
Ⅰ学习目标
1．会利用定义求直线与平面的夹角，二面角．
2．会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角．
3．会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题．
Ⅱ基础性训练
一、选择题
1．若直线l与平面??成角为，直线a在平面??内，且直线l与直线a异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（）
A． B．
C． D．
2．已知二面角?－l－??的大小为，异面直线a，b分别垂直于平面??，??，则异面直线a，b所成角的大小为（）
A． B．
C． D．
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成角的大小为
A． B．
C． D．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD所成二面角的余弦值为
A． B．
C． D．
5．ABCD为正方形，E是AB中点，将△DAE和△CBE折起，使得AE与BE重合，记A，B重合后的点为P，则二面角D－PE－C的大小为（）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．设n1，n2分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若，则此二面角的大小为______．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，P是棱CC1上一点，CP＝m，且直线AP与平面BB1D1D所成的角的正弦值为，则m＝______．
8．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．
9．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______．
10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1
三、解答题
11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF
12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AB中点，求二面角A1－EC－B
13．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC的中点
（1）求直线BB1与平面AC1D所成的角余弦值；
（2）求二面角C－AC1－D的大小．
14．三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．
（1）求AC与平面SBC所成角的大小．
（2）求二面角A－SC－B的大小．
直线与平面的夹角、二面角
1．C2．B
3．A建立空间直角坐标系，平面BDD1B1的法向量为．
4．C
5．CEP⊥PD，EP⊥PC，∠DPC是二面角D－PE－C的平面角，且PD＝PC＝CD，二面角的平面角的大小为．
6．或．
7．．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得＝(－1，1，m)，平面BB1D1D的法向量为=(－1，1，0)，设AP与平面BB1D1D所成角为??，则sin?＝．
8．
9．以为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA＝2，得＝(1，1，0)，平面ABC的法向量为m＝(1，1，1)，则
10．
11．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，AB＝2，
则A1(2，0，2)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，B(2，2，0)，
C1(0，2，2)，
．
设平面A1EF的法向量为m＝(x，y，z)，
则．
令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以m＝(－2，2，1)．
设BC1与平面A1EF所成角为??，则，
BC1与平面A1EF所成角的大小为．
12．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，
则A1(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．
因为DD1⊥平面EBC，
所以平面EBC的法向量为．
设平面A1EC的法向量为m＝(x，y，z)，
，则．
令z＝1，则y＝2，x＝1，所以m＝(1，2，1)，．
因为二面角A1－EC－B为钝角，所以二面角A1－EC－B的余弦值为．
13．解：取BC的中点D，如图，建立空间直角坐标系D－xyz，
设AB＝BB1＝2，
A，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，2)，
（1）设平面AC1D的法向量为m＝(x，y，z)，
，
则．令z＝1，则y＝2，所以m＝(0，2，1)．
设直线BB1与平面AC1D所成的角为??，，
则，所以AC与平面SBC所成角的余弦值为.
（2）设平面ACC1的法向量为n＝(x，y，z)
，则．
令x＝1，则，所以．
因为二面角C－AC1－D为锐角，所以二面角A－SC－B余弦值为．
14．解：如图，建立空间直角坐标系B－xyz，设AB＝1，
则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，1，1)．
（1）设平面SBC的法向量
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