高斯(核)函数简介.pdfVIP

1函数的基本概念

所谓径向基函数(RadialBasisFunction简称RBF),就是某种沿径向对称的标量函数。通常

定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数,可记作k(||x-xc||),其作

用往往是局部的,即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数,形

式为k(||x-xc||)=exp{-||x-xc||^2/(2*)^2)}其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数,

控制了函数的径向作用范围。

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，

高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理

中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来

说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方

向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方

向．

（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素

值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因

为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则

平滑运算会使图像失真．

（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变

换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹

理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶

变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．

（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非

常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，

可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突

变量(欠平滑)之间取得折衷．

（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可

以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同

一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方

增长．

2函数的表达式和图形

在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab绘图的

alf=3;

n=7;%定义模板大小

n1=floor((n+1)/2);%确定中心

fori=1:n

a(i)=exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2));

forj=1:n

b(i,j)=exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);

end

end

subplot(121),plot(a),title(一维高斯函数)

subplot(122),surf(b),title(二维高斯函数)

二图像滤波

1图像滤波的基本概念

图像常常被强度随机信号（也称为噪声）所污染．一些常见的噪声有椒盐（SaltPepper）

噪声、脉冲噪声、高斯噪声等．椒盐噪声含有随机出现的黑白强度值．而脉冲噪声则只含有

随机的白强度值（正脉冲噪声）或黑强度值（负脉冲噪声）．与前两者不同，高斯噪声含有

强度服从高斯或正态分布的噪声．研究滤波就是为了消除噪声干扰。

图像滤波总体上讲包括空域滤波和频域滤波。频率滤波需要先进行傅立叶变换至频域处理然

后再反变换回空间域还原图像，空域滤波是直接对图像的数据做空间变换达到滤波的目的。

它是一种邻域运算，即输出图像中任何像素的值都是通过采用一定的算法，根据输入图像中

对用像素周围一定邻域内像素的值得来的。如果输出像素是输入像素邻域像素的线性组合则

称为线性滤波（例如最常见的均值滤波和高斯滤波），否则为非线性滤波（中值滤波、边缘

保持滤波等）。

线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也有很好

的效果。线性滤波器使用连续窗函数内像素加权和来实现滤波。特别典型的是，同一模式的

权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是