高数习题12-9-(13)（必威体育精装版文档）.docVIP

习题6-3

求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：

★(1)．曲线与直线、、所围成的图形；

01图

0

1

图6-3-1-1

4

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），

代入相应的公式。

解：平面图形D：，见图6-3-1-1

绕x轴旋转产生的立体体积：；

绕y轴旋转产生的立体体积：(和书上答案不同)

★★(2)．在区间上，曲线与直线、所围成的图形；

0图6-3-1-21解：平面图形D：

0

图6-3-1-2

1

绕x轴旋转产生的立体体积：

；

绕y轴旋转产生的立体体积：

方法一：

方法二：可看作由（矩形，）绕y轴旋转而成的体积，减去由（，）绕y轴旋转而成的立体体积所得

∴

★(3)．曲线与直线、所围成的图形。

解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积：；

绕y轴旋转产生的立体体积：

（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）

★★2．求由曲线、所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积可看作：绕y轴旋转而成的体积，减去

：绕y轴旋转而成的立体体积所得，见图6-3-2

0

0

1

图6-3-2

1

解：

★★3．求由曲线（）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式

解：平面图形D：，绕y轴旋转产生的立体体积：

（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）

★★★4．求由曲线，，，（）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。

0图6-3-4

0

图6-3-4

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式

解：平面图形D：，见图6-3-4，

绕x轴旋转产生的立体体积：

★★★5．求摆线，的一拱与所围图形绕直线轴旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

图6-3-50思路：若设所围区域为，则该平面图形绕旋转而成体积可看作矩形区域：绕旋转而成的体积，减去区域：绕旋转而成的立体体积所得，（其中，表示摆线的函数式，见图6-3-5

图6-3-5

0

解：，作代换，则

★★★★6．求绕（）旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

0图6-3-6线段思路：由图形的对称性可知所求体积，其中是由（）部分，绕旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，是由图形中的线段（）绕旋转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6

0

图6-3-6

线段

解：

★★★★7．由心形线和射线及所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转

图6-3-708解：平面区域：（），见图6-3-7

图6-3-7

0

8

∵心形线的直角坐标表示：

（），根据直角坐标下的体积计算及，得：

★★★8．计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。

知识点：已知平行截面面积的立体体积

思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。见图6-3-8

图

图6-3-8

解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：，

在圆内，垂直于x轴的截面面积，

∴

★★9．求曲线与直线，及所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式

解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积：；

绕y轴旋转产生的立体体积：

（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）

★★★★10．设直线与直线，，及所围成的梯形面积等于，试求、，使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（，）。

知识点：旋转体体积，以及最值问题

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），进而求出以为变量的旋转体体积，再求最小值。

解：梯形区域：，，

01

∴

∵由条件，∴

，得，