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2011-2012-2高等数学(A2、B2)半期考试

暨高等数学竞赛考试试卷

一、选择题(每题4分，共20分)

1、若,其中为常数，则区域是()

(A)(B)

(C)(D)

2、设是连续函数,则时，下面说法正确的是()

(A)是的一阶无穷小(B)是的二阶无穷小

(C)是的三阶无穷小(D)至少是的三阶无穷小

3、二元函数在点处可微的一个充分条件是()

(A)(B)

(C)且

(D)且

4、函数在点处取得极值是的(D)

(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件

5、若为某函数的全微分，则()

(A)(B)0

(C)1(D)2

二、填空题(每题4分，共20分)

1、函数单位向量，则()

2、设为椭圆，其周长记为,则()。

3、函数可微，且则在点处的全微分()

4、若且，则=().

5、第二类曲线积分化成第一类曲线积分是()，其中为有向曲线弧在点处的()的方向角。

三、计算题

1、(本题7分)求极限

2、(本题7分)求曲面的与平面平行的切平面方程。

3、(本题7分)设，其中具有连续二阶偏导数，求

4、(本题8分)设是由确定的函数，求的极值点和极值。

5、(本题7分)求积分

6、(本题7分)求由柱面围成的柱体体积被球面所截得部分的体积。

7、(本题7分)，其中Ω是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围成的闭区域。

8、(本题10分)设在内有连续的导函数，求，其中为从点到点的直线段。

2011-2012-2高等数学(A2、B2)半期考试

暨高等数学竞赛考试试卷

选择题（每题4分，共20分）

1.C2.D3.D4.D5.D

二、填空题（每题4分，共20分）

1.2.3.4.4;

5.;切向量

三、计算题

1、（本题7分）求极限

解：原式=

2、（本题7分）求曲面的与平面平行的切平面方程。

解：设切点，故，

由题意可得，又因为，

由此可得切点为或，

切平面方程为或

3、（本题7分）设，其中具有连续二阶偏导数，求

解：

4、（本题8分）设是由确定的函数，求的极值点和极值。

解：令：可得：或

,,

故，

又因为，因此极小值点是，极小值为；

同理可得：极小值点是，极小值为。

5、（本题7分）求积分

解：原式=

6、（本题7分）求由柱面围成的柱体体积被球面所截得部分的体积。

解：所求体积为：,其中是面上的上半圆区域：，

。

7、（本题7分），其中Ω是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围成的闭区域。

解：曲线旋转后曲面方程为：，

，

或：。

8、（本题10分）设在内有连续的导函数，求，其中为从点到点的直线段。

解：原式=,

,

对于有，

,

可判定积分与路径无关，选取由A到B的双曲线弧作为积分路径，则

，

原式。